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2003 AMC 12B 第 21 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

21.

一个物体从 AA 沿直线移动 88 cm 到 BB，再转过角 α\alpha。这个角以弧度计，从区间 (0,π)(0, \pi) 中随机选取。随后物体沿直线移动 55 cm 到 CC。AC<7AC \lt 7 的概率是多少？

An object moves 88 cm in a straight line from AA to B,B, turns at an angle α,\alpha, measured in radians and chosen at random from the interval (0,π),(0, \pi), and moves 55 cm in a straight line to C.C. What is the probability that AC<7?AC \lt 7?

16\dfrac{1}{6}

15\dfrac{1}{5}

14\dfrac{1}{4}

13\dfrac{1}{3}

12\dfrac{1}{2}

答案：D
知识点：余弦定理几何概率三角学
难度评级：1910
解答：

令 β=π−α\beta = \pi - \alpha 为 △ABC\triangle ABC 在 BB 处的内角。由余弦定理， AC2=82+52−2(8)(5)cos⁡β=89−80cos⁡β. \begin{aligned} &AC^2 = 8^2 + 5^2 \\ &\quad {}- 2(8)(5)\cos\beta \\ &= 89 - 80\cos\beta. \end{aligned}

于是 AC<7AC \lt 7 表示 89−80cos⁡β<4989 - 80\cos\beta \lt 49， 即 cos⁡β>12\cos\beta \gt \dfrac{1}{2} 也就是 β<π3\beta \lt \dfrac{\pi}{3}。

因为 α\alpha 在 (0,π)(0, \pi)， 上均匀分布，所以 β\beta 也均匀分布。概率为 π/3π=13. \frac{\pi/3}{\pi} = \frac{1}{3}.

因此，正确答案是 D。

Let β=π−α\beta = \pi - \alpha be the interior angle of △ABC\triangle ABC at B.B. By the Law of Cosines, AC2=82+52−2(8)(5)cos⁡β=89−80cos⁡β. \begin{aligned} &AC^2 = 8^2 + 5^2 \\ &\quad {}- 2(8)(5)\cos\beta \\ &= 89 - 80\cos\beta. \end{aligned}

Then AC<7AC \lt 7 means 89−80cos⁡β<49,89 - 80\cos\beta \lt 49, i.e. cos⁡β>12,\cos\beta \gt \dfrac{1}{2}, i.e. β<π3.\beta \lt \dfrac{\pi}{3}.

As α\alpha is uniform on (0,π),(0, \pi), so is β.\beta. The probability is π/3π=13. \frac{\pi/3}{\pi} = \frac{1}{3}.

Thus, the correct answer is D.

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