2003 AMC 12B 第 21 题

Question

一个物体从

A

沿直线移动

8

cm 到

B

，再转过角

\alpha

。这个角以弧度计，从区间

(0, \pi)

中随机选取。随后物体沿直线移动

5

cm 到

C

。

AC \lt 7

的概率是多少？

An object moves

8

cm in a straight line from

A

to

B,

turns at an angle

\alpha,

measured in radians and chosen at random from the interval

(0, \pi),

and moves

5

cm in a straight line to

C.

What is the probability that

AC \lt 7?

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{5}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{2}

答案：D

知识点：余弦定理几何概率三角学

难度评级：1910

小提示：

令

\beta = \pi - \alpha

为

\triangle ABC

在

B

处的内角；对该三角形使用余弦定理

Let

\beta = \pi - \alpha

be the interior angle at

B;

apply the Law of Cosines to

\triangle ABC

大提示：

AC^2 = 89 - 80\cos\beta

，所以

AC \lt 7

等价于

\cos\beta \gt \dfrac{1}{2}

AC^2 = 89 - 80\cos\beta,

so

AC \lt 7

is equivalent to

\cos\beta \gt \dfrac{1}{2}

解答：

令

\beta = \pi - \alpha

为

\triangle ABC

在

B

处的内角。由余弦定理，

\begin{aligned} &AC^2 = 8^2 + 5^2 \\ &\quad {}- 2(8)(5)\cos\beta \\ &= 89 - 80\cos\beta \end{aligned}\text{。}

于是

AC \lt 7

表示

89 - 80\cos\beta \lt 49

，即

\cos\beta \gt \dfrac{1}{2}

，也就是

\beta \lt \dfrac{\pi}{3}

。

因为

\alpha

在

(0, \pi)

上均匀分布，所以

\beta

也均匀分布。概率为

\frac{\frac{\pi}{3}}{\pi} = \frac{1}{3}\text{。}

因此，正确答案是 D。

Let

\beta = \pi - \alpha

be the interior angle of

\triangle ABC

at

B.

By the Law of Cosines,

\begin{aligned} &AC^2 = 8^2 + 5^2 \\ &\quad {}- 2(8)(5)\cos\beta \\ &= 89 - 80\cos\beta. \end{aligned}

Then

AC \lt 7

means

89 - 80\cos\beta \lt 49,

i.e.

\cos\beta \gt \dfrac{1}{2},

i.e.

\beta \lt \dfrac{\pi}{3}.

As

\alpha

is uniform on

(0, \pi),

so is

\beta.

The probability is

\frac{\frac{\pi}{3}}{\pi} = \frac{1}{3}.

Thus, the correct answer is D.

2003 AMC 12B 第 21 题

答案：D

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

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