1999 AMC 12 第 21 题

Question

一个圆外接于边长为

20

，

21

和

29

的三角形，从而将圆内部划分为四个区域。令

A

、

B

、

C

为三个非三角形区域的面积，其中

C

最大。则

A circle is circumscribed about a triangle with sides

20,

21,

and

29,

thus dividing the interior of the circle into four regions. Let

A,

B,

and

C

be the areas of the non-triangular regions, with

C

being the largest. Then

A + B = C

A + B + 210 = C

A^2 + B^2 = C^2

20A + 21B = 29C

\dfrac{1}{A^2} + \dfrac{1}{B^2} = \dfrac{1}{C^2}

答案：B

知识点：直角三角形圆面积面积分割

难度评级：1810

小提示：

检查

20, 21, 29

是否构成直角三角形。

Check whether

20, 21, 29

form a right triangle

大提示：

斜边是直径，所以最大区域

C

是一个半圆。

The hypotenuse is a diameter, so the largest region

C

is a semicircle

解答：

因为

20^2 + 21^2 = 841 = 29^2

，该三角形为直角三角形，斜边

29

是外接圆直径。因此最大区域

C

是该直径一侧的半圆。

另一半圆由三角形以及区域

A

、

B

组成。两个半圆面积相等，而三角形面积为

\tfrac12 \cdot 20 \cdot 21 = 210

，所以

A + B + 210 = C\text{。}

所以正确答案是 B。

Since

20^2 + 21^2 = 841 = 29^2,

the triangle is right-angled, and its hypotenuse of length

29

is a diameter of the circle. Thus the largest region

C

is the semicircle on one side of that diameter.

The other semicircle consists of the triangle together with regions

A

and

B.

Since the two semicircles are congruent and the triangle has area

\tfrac12 \cdot 20 \cdot 21 = 210,

we get

A + B + 210 = C.

Thus, the correct answer is B.

1999 AMC 12 第 21 题

答案：B

难度评级：1810

小提示：

大提示：

解答：

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