1988 AMC 12 第 21 题

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21.

复数 zz 满足 z+∣z∣=2+8iz+\lvert z\rvert=2+8i。∣z∣2\lvert z\rvert^2 等于多少?注:若 z=a+biz=a+bi,则 ∣z∣=a2+b2\lvert z\rvert=\sqrt{a^2+b^2}。
The complex number zz satisfies z+∣z∣=2+8i.z+\lvert z\rvert=2+8i. What is ∣z∣2?\lvert z\rvert^2? Note: if z=a+bi,z=a+bi, then ∣z∣=a2+b2.\lvert z\rvert=\sqrt{a^2+b^2}.
6868
100100
169169
208208
289289
答案:E
知识点:complex numbersmodulusequations with radicals
小提示:
令 z=a+biz=a+bi,并比较等式两边的虚部
Write z=a+biz=a+bi and compare imaginary parts
大提示:
利用实部建立 aa 与 a2+b2\sqrt{a^2+b^2} 的关系
Use the real part to relate aa to a2+b2\sqrt{a^2+b^2}
解答:
令 z=a+biz=a+bi,可得 b=8b=8,且 a+a2+64=2a+\sqrt{a^2+64}=2。因此 a2+64=2−a\sqrt{a^2+64}=2-a。两边平方得 a=−15a=-15。所以 ∣z∣2=a2+b2=225+64=289\lvert z\rvert^2=a^2+b^2=225+64=289。
因此,正确答案是 E。
Writing z=a+biz=a+bi gives b=8b=8 and a+a2+64=2.a+\sqrt{a^2+64}=2. Thus a2+64=2−a.\sqrt{a^2+64}=2-a. Squaring yields a=−15.a=-15. Therefore ∣z∣2=a2+b2=225+64=289.\lvert z\rvert^2=a^2+b^2=225+64=289.
Thus the correct answer is E.
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