2011 AMC 12A Problema 23

Question

Sea

f(z) = \dfrac{z + a}{z + b}

y

g(z) = f(f(z)),

donde

a

y

b

son números complejos. Supongamos que

|a| = 1

y

g(g(z)) = z

para todo

z

para el cual

g(g(z))

está definido. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor valor posible de

|b|

?

Let

f(z) = \dfrac{z + a}{z + b}

and

g(z) = f(f(z)),

where

a

and

b

are complex numbers. Suppose that

|a| = 1

and

g(g(z)) = z

for all

z

for which

g(g(z))

is defined. What is the difference between the largest and smallest possible values of

|b|?

0

\sqrt{2} - 1

\sqrt{3} - 1

1

2

Respuesta: C

Conceptos:número complejo matriz raíces de la unidad

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Representa

f

con la matriz

\begin{pmatrix} 1 & a \\ 1 & b \end{pmatrix};

entonces

g(g(z)) = z

significa que

f^4

es la identidad

Represent

f

by the matrix

\begin{pmatrix} 1 & a \\ 1 & b \end{pmatrix};

then

g(g(z)) = z

means

f^4

is the identity

Pista grande:

El caso de orden

4

obliga a

(\operatorname{tr})^2 = 2\det,

lo que da

b^2 = -(1 + 2a)

The order-

4

case forces

(\operatorname{tr})^2 = 2\det,

which gives

b^2 = -(1 + 2a)

Solución:

La composición directa da

g(z)=\dfrac{Az+B}{Cz+D},

donde

A=1+a,

B=a(1+b),

C=1+b,

y

D=a+b^2.

La matriz

\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}

representa a

g.

Para que

g\circ g

sea la identidad, su cuadrado debe ser escalar. Al comparar las entradas fuera de la diagonal y las dos entradas diagonales, hay dos posibilidades: o bien

B=C=0

y

A=D,

o bien

A+D=0.

La primera da

b=-1

(con

a\ne-1

); la segunda da

b^2=-(1+2a).

En el segundo caso,

|b|^2=|1+2a|.

Cuando

a

recorre el círculo unitario,

|1+2a|

varía de

1

a

3,

así que

1\le|b|\le\sqrt3.

Ambos extremos se alcanzan: tomemos

(a,b)=(-1,1)

y

(a,b)=(1,i\sqrt3).

El caso separado

b=-1

también tiene

|b|=1.

Por tanto, la diferencia pedida es

\sqrt3-1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Direct composition gives

g(z)=\dfrac{Az+B}{Cz+D},

where

A=1+a,

B=a(1+b),

C=1+b,

and

D=a+b^2.

The matrix

\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}

represents

g.

For

g\circ g

to be the identity, its square must be scalar. Comparing the off-diagonal entries and the two diagonal entries gives two possibilities: either

B=C=0

and

A=D,

or

A+D=0.

The first gives

b=-1

(with

a\ne-1

); the second gives

b^2=-(1+2a).

In the second case,

|b|^2=|1+2a|.

As

a

runs around the unit circle,

|1+2a|

ranges from

1

to

3,

so

1\le|b|\le\sqrt3.

Both endpoints occur: take

(a,b)=(-1,1)

and

(a,b)=(1,i\sqrt3).

The separate case

b=-1

also has

|b|=1.

Therefore the requested difference is

\sqrt3-1.

Thus, the correct answer is C.