2010 AMC 12A Problema 23

Question

El número formado por los dos últimos dígitos no nulos de

90!

es igual a

n.

¿Cuánto vale

n

?

The number obtained from the last two nonzero digits of

90!

is equal to

n.

What is

n?

12

32

48

52

68

Respuesta: A

Conceptos:aritmética modular Teorema chino del resto ceros finales

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Elimina los factores que producen ceros finales, luego trabaja módulo

100

.

Remove the factors making trailing zeroes, then work modulo

100

Pista grande:

Usa congruencias módulo

4

y módulo

25

para determinar los dos últimos dígitos.

Use congruences modulo

4

and modulo

25

to pin down the last two digits

Solución:

El número de ceros finales de

90!

es

\left\lfloor\dfrac{90}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{90}{25}\right\rfloor=21.

Sea

N=\dfrac{90!}{10^{21}}.

Quedan más de dos factores de

2

después de quitar

10^{21},

así que

N\equiv0 \pmod4.

Sea

A

el producto de los factores de

90!

no divisibles entre

5,

y sea

B

el producto de los factores divisibles entre

5.

Cada bloque

(5j+1)(5j+2)(5j+3)(5j+4)

es

24\equiv-1\pmod{25},

y hay

18

bloques, así que

A\equiv1\pmod{25}.

Después de quitar los

21

factores de

5

de

B,

los factores restantes pueden agruparse como

\begin{aligned} \dfrac{B}{5^{21}}={}&(1\cdot2\cdot3\cdot4) \\ &\cdot(6\cdot7\cdot8\cdot9) \\ &\cdot(11\cdot12\cdot13\cdot14) \\ &\cdot(16\cdot17\cdot18)(1\cdot2\cdot3) \\ &\equiv-1\pmod{25}. \end{aligned}

Por tanto,

\dfrac{90!}{5^{21}}\equiv-1\pmod{25}.

Como

2^{21}\equiv2\pmod{25}

y el inverso de

2

módulo

25

es

13,

obtenemos

N\equiv-13\equiv12\pmod{25}.

El número congruente con

0\pmod4

y

12\pmod{25}

es

12\pmod{100},

así que los dos últimos dígitos no nulos forman

12.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The number of trailing zeroes in

90!

is

\left\lfloor\dfrac{90}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{90}{25}\right\rfloor=21.

Let

N=\dfrac{90!}{10^{21}}.

There are still more than two factors of

2

left after removing

10^{21},

so

N\equiv0 \pmod4.

Let

A

be the product of factors of

90!

not divisible by

5,

and let

B

be the product of the factors divisible by

5.

Each block

(5j+1)(5j+2)(5j+3)(5j+4)

is

24\equiv-1\pmod{25},

and there are

18

blocks, so

A\equiv1\pmod{25}.

After removing the

21

factors of

5

from

B,

the remaining factors can be grouped as

\begin{aligned} \dfrac{B}{5^{21}}={}&(1\cdot2\cdot3\cdot4) \\ &\cdot(6\cdot7\cdot8\cdot9) \\ &\cdot(11\cdot12\cdot13\cdot14) \\ &\cdot(16\cdot17\cdot18)(1\cdot2\cdot3) \\ &\equiv-1\pmod{25}. \end{aligned}

Therefore

\dfrac{90!}{5^{21}}\equiv-1\pmod{25}.

Since

2^{21}\equiv2\pmod{25}

and the inverse of

2

modulo

25

is

13,

we get

N\equiv-13\equiv12\pmod{25}.

The number congruent to

0\pmod4

and

12\pmod{25}

is

12\pmod{100},

so the last two nonzero digits form

12.

Thus, A is the correct answer.