Question

El número formado por los dos últimos dígitos no nulos de $90!$ es igual a $n.$ ¿Cuánto vale $n$ ?

The number obtained from the last two nonzero digits of $90!$ is equal to $n.$ What is $n?$

$12$

$32$

$48$

$52$

$68$

Respuesta: A

Conceptos:aritmética modular Teorema chino del resto ceros finales

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

El número de ceros finales de $90!$ es $\left\lfloor\dfrac{90}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{90}{25}\right\rfloor=21.$ Sea $N=\dfrac{90!}{10^{21}}.$

Quedan más de dos factores de $2$ después de quitar $10^{21},$ así que $N\equiv0 \pmod4.$

Sea $A$ el producto de los factores de $90!$ no divisibles entre $5,$ y sea $B$ el producto de los factores divisibles entre $5.$ Cada bloque $(5j+1)(5j+2)(5j+3)(5j+4)$ es $24\equiv-1\pmod{25},$ y hay $18$ bloques, así que $A\equiv1\pmod{25}.$

Después de quitar los $21$ factores de $5$ de $B,$ los factores restantes pueden agruparse como $\begin{aligned} \dfrac{B}{5^{21}}={}&(1\cdot2\cdot3\cdot4) \\ &\cdot(6\cdot7\cdot8\cdot9) \\ &\cdot(11\cdot12\cdot13\cdot14) \\ &\cdot(16\cdot17\cdot18)(1\cdot2\cdot3) \\ &\equiv-1\pmod{25}. \end{aligned}$

Por tanto, $\dfrac{90!}{5^{21}}\equiv-1\pmod{25}.$ Como $2^{21}\equiv2\pmod{25}$ y el inverso de $2$ módulo $25$ es $13,$ obtenemos $N\equiv-13\equiv12\pmod{25}.$

El número congruente con $0\pmod4$ y $12\pmod{25}$ es $12\pmod{100},$ así que los dos últimos dígitos no nulos forman $12.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The number of trailing zeroes in $90!$ is $\left\lfloor\dfrac{90}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\dfrac{90}{25}\right\rfloor=21.$ Let $N=\dfrac{90!}{10^{21}}.$

There are still more than two factors of $2$ left after removing $10^{21},$ so $N\equiv0 \pmod4.$

Let $A$ be the product of factors of $90!$ not divisible by $5,$ and let $B$ be the product of the factors divisible by $5.$ Each block $(5j+1)(5j+2)(5j+3)(5j+4)$ is $24\equiv-1\pmod{25},$ and there are $18$ blocks, so $A\equiv1\pmod{25}.$

After removing the $21$ factors of $5$ from $B,$ the remaining factors can be grouped as $\begin{aligned} \dfrac{B}{5^{21}}={}&(1\cdot2\cdot3\cdot4) \\ &\cdot(6\cdot7\cdot8\cdot9) \\ &\cdot(11\cdot12\cdot13\cdot14) \\ &\cdot(16\cdot17\cdot18)(1\cdot2\cdot3) \\ &\equiv-1\pmod{25}. \end{aligned}$

Therefore $\dfrac{90!}{5^{21}}\equiv-1\pmod{25}.$ Since $2^{21}\equiv2\pmod{25}$ and the inverse of $2$ modulo $25$ is $13,$ we get $N\equiv-13\equiv12\pmod{25}.$

The number congruent to $0\pmod4$ and $12\pmod{25}$ is $12\pmod{100},$ so the last two nonzero digits form $12.$

Thus, A is the correct answer.

2010 AMC 12A Problema 23

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

El Problema 23 en otros años