2009 AMC 12B Problema 23

Question

Una región

S

en el plano complejo se define por

\scriptsize S = \{x + iy : -1 \le x \le 1,\ -1 \le y \le 1\}.

Un número complejo

z = x + iy

se elige de manera uniforme al azar de

S.

¿Cuál es la probabilidad de que

\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4}i\right)z

también esté en

S

?

A region

S

in the complex plane is defined by

\scriptsize S = \{x + iy : -1 \le x \le 1,\ -1 \le y \le 1\}.

A complex number

z = x + iy

is chosen uniformly at random from

S.

What is the probability that

\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4}i\right)z

is also in

S?

\dfrac{1}{2}

\dfrac{2}{3}

\dfrac{3}{4}

\dfrac{7}{9}

\dfrac{7}{8}

Respuesta: D

Conceptos:número complejo probabilidad geométrica área

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Al multiplicar se obtiene parte real

\tfrac{3}{4}(x - y)

y parte imaginaria

\tfrac{3}{4}(x + y)

; ambas deben estar en

[-1, 1]

.

Multiplying gives real part

\tfrac{3}{4}(x - y)

and imaginary part

\tfrac{3}{4}(x + y)

; both must lie in

[-1, 1]

Pista grande:

Estas condiciones son

|x - y| \le \tfrac{4}{3}

y

|x + y| \le \tfrac{4}{3}

; halla el área de

S

que las satisface.

These conditions are

|x - y| \le \tfrac{4}{3}

and

|x + y| \le \tfrac{4}{3}

; find the area of

S

satisfying them

Solución:

Al desarrollar,

\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4}i\right)(x + iy)

= \dfrac{3}{4}(x - y)

+ \dfrac{3}{4}(x + y)i.

Ambas partes están en

[-1, 1]

si y solo si

|x - y| \le \dfrac{4}{3}

y

|x + y| \le \dfrac{4}{3}.

Dentro del cuadrado

S

(área

4

) estas fallan solo en cuatro triángulos de las esquinas. Cerca de

(1, 1),

la recta

x + y = \dfrac{4}{3}

recorta un triángulo rectángulo de catetos

\dfrac{2}{3},

con área

\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9}.

Las cuatro esquinas quitan

4 \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{8}{9},

dejando

4 - \dfrac{8}{9} = \dfrac{28}{9}.

La probabilidad es

\dfrac{\frac{28}{9}}{4} = \dfrac{7}{9}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Expanding,

\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4}i\right)(x + iy)

= \dfrac{3}{4}(x - y)

+ \dfrac{3}{4}(x + y)i.

Both parts lie in

[-1, 1]

iff

|x - y| \le \dfrac{4}{3}

and

|x + y| \le \dfrac{4}{3}.

Within the square

S

(area

4

) these fail only in four corner triangles. Near

(1, 1),

the line

x + y = \dfrac{4}{3}

cuts off a right triangle with legs

\dfrac{2}{3},

area

\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9}.

The four corners remove

4 \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{8}{9},

leaving

4 - \dfrac{8}{9} = \dfrac{28}{9}.

The probability is

\dfrac{\frac{28}{9}}{4} = \dfrac{7}{9}.

Thus, the correct answer is D.