2003 AMC 12B Problema 23

Question

El número de intersecciones con el eje

x

en la gráfica de

y = \sin(\frac{1}{x})

en el intervalo

(0.0001, 0.001)

es más cercano a

The number of

x

-intercepts on the graph of

y = \sin(\frac{1}{x})

in the interval

(0.0001, 0.001)

is closest to

2900

3000

3100

3200

3300

\sin(\frac{1}{x}) = 0

cuando

\frac{1}{x} = k\pi

para un entero no nulo

k,

es decir

x = \dfrac{1}{k\pi}

\sin(\frac{1}{x}) = 0

when

\frac{1}{x} = k\pi

for a nonzero integer

k,

i.e.

x = \dfrac{1}{k\pi}

Cuenta los enteros

k

con

\dfrac{1000}{\pi} \lt k \lt \dfrac{10000}{\pi}

Count integers

k

with

\dfrac{1000}{\pi} \lt k \lt \dfrac{10000}{\pi}

Las intersecciones ocurren donde

\frac{1}{x} = k\pi,

es decir

x = \dfrac{1}{k\pi}

para un entero no nulo

k.

La condición

0.0001 \lt \dfrac{1}{k\pi} \lt 0.001

se convierte en

\frac{1000}{\pi} \lt k \lt \frac{10000}{\pi}.

El número de tales enteros es

\begin{aligned} &\left\lfloor \frac{10000}{\pi} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{1000}{\pi} \right\rfloor \\ &= 3183 - 318 = 2865, \end{aligned}

lo más cercano a

2900.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The intercepts occur where

\frac{1}{x} = k\pi,

that is

x = \dfrac{1}{k\pi}

for a nonzero integer

k.

The condition

0.0001 \lt \dfrac{1}{k\pi} \lt 0.001

becomes

\frac{1000}{\pi} \lt k \lt \frac{10000}{\pi}.

The number of such integers is

\begin{aligned} &\left\lfloor \frac{10000}{\pi} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{1000}{\pi} \right\rfloor \\ &= 3183 - 318 = 2865, \end{aligned}

closest to

2900.

Thus, the correct answer is A.

El Problema 23 en otros años