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2001 AMC 12 Problema 23

Intenta el Problema 23 del 2001 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2001 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

23.

Un polinomio de grado cuatro con coeficiente principal 11 y coeficientes enteros tiene dos ceros reales, ambos enteros. ¿Cuál de los siguientes también puede ser un cero del polinomio?
A polynomial of degree four with leading coefficient 11 and integer coefficients has two real zeros, both of which are integers. Which of the following can also be a zero of the polynomial?
1+i112\dfrac{1 + i\sqrt{11}}{2}
1+i2\dfrac{1 + i}{2}
12+i\dfrac{1}{2} + i
1+i21 + \dfrac{i}{2}
1+i132\dfrac{1 + i\sqrt{13}}{2}
Respuesta: A
Conceptos:polinomionúmero complejocuadrática
Nivel de dificultad: 2080
Pista pequeña:
Factoriza las dos raíces enteras: el factor restante es x2+αx+βx^2 + \alpha x + \beta con α,β\alpha, \beta enteros
Factor out the two integer roots: the remaining factor is x2+αx+βx^2 + \alpha x + \beta with α,β\alpha, \beta integers
Pista grande:
Los ceros complejos son −α2±i4β−α22;-\dfrac{\alpha}{2} \pm \dfrac{i\sqrt{4\beta - \alpha^2}}{2}; iguala la parte real y verifica que β\beta sea un entero
The complex zeros are −α2±i4β−α22;-\dfrac{\alpha}{2} \pm \dfrac{i\sqrt{4\beta - \alpha^2}}{2}; match the real part and check that β\beta is an integer
Solución:
Escribiendo P(x)P(x) =(x−r)(x−s)(x2+αx+β)= (x - r)(x - s)(x^2 + \alpha x + \beta) con raíces enteras r,s,r, s, igualar coeficientes obliga a que α\alpha y β\beta sean enteros.
Los otros dos ceros son −α2±i4β−α22. -\dfrac{\alpha}{2} \pm \dfrac{i\sqrt{4\beta - \alpha^2}}{2}. Una parte real de 12\dfrac{1}{2} requiere α=−1,\alpha = -1, lo que hace que la parte imaginaria sea 4β−12.\dfrac{\sqrt{4\beta - 1}}{2}.
La opción A necesita 4β−1=11,\sqrt{4\beta - 1} = \sqrt{11}, es decir, β=3,\beta = 3, un entero, así que funciona. Las demás opciones obligan a que β\beta no sea entero (por ejemplo, la opción E necesita β=3.5,\beta = 3.5, y la opción D necesita α=−2\alpha = -2 con β=54\beta = \tfrac{5}{4}).
Por lo tanto, la respuesta correcta es A.
Writing P(x)P(x) =(x−r)(x−s)(x2+αx+β)= (x - r)(x - s)(x^2 + \alpha x + \beta) with integer roots r,s,r, s, matching coefficients forces α\alpha and β\beta to be integers.
The other two zeros are −α2±i4β−α22. -\dfrac{\alpha}{2} \pm \dfrac{i\sqrt{4\beta - \alpha^2}}{2}. A real part of 12\dfrac{1}{2} requires α=−1,\alpha = -1, making the imaginary part 4β−12.\dfrac{\sqrt{4\beta - 1}}{2}.
Choice A needs 4β−1=11,\sqrt{4\beta - 1} = \sqrt{11}, i.e. β=3,\beta = 3, an integer, so it works. The other choices force a non-integer β\beta (for example choice E needs β=3.5,\beta = 3.5, and choice D needs α=−2\alpha = -2 with β=54\beta = \tfrac{5}{4}).
Thus, the correct answer is A.

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