2021 AMC 12B Fall 第 21 题

Question

对实数

x

，令

\begin{aligned} P(x) &= 1 + \cos(x) + i\sin(x) \\ &\quad {}- \cos(2x) - i\sin(2x) \\ &\quad {}+ \cos(3x) + i\sin(3x) \end{aligned}

其中

i = \sqrt{-1}

。在

0 \le x \lt 2\pi

中，有多少个

x

满足

P(x) = 0\text{？}

For real numbers

x,

let

\begin{aligned} P(x) &= 1 + \cos(x) + i\sin(x) \\ &\quad {}- \cos(2x) - i\sin(2x) \\ &\quad {}+ \cos(3x) + i\sin(3x) \end{aligned}

where

i = \sqrt{-1}.

For how many values of

x

with

0 \le x \lt 2\pi

does

P(x) = 0?

0

1

2

3

4

答案：A

知识点：复数三角恒等式

难度评级：2420

小提示：

写成

P(x) = 1 + e^{ix} - e^{2ix} + e^{3ix}

，并要求实部和虚部都为零。

Write

P(x) = 1 + e^{ix} - e^{2ix} + e^{3ix}

and require both the real and imaginary parts to vanish

大提示：

虚部可分解为

\sin(2x)(2\cos x - 1)

The imaginary part factors as

\sin(2x)(2\cos x - 1)

解答：

由 Euler 公式，

P(x) = 1 + e^{ix} - e^{2ix} + e^{3ix}

。其虚部为

\begin{gathered} \sin x - \sin 2x + \sin 3x \\ = (\sin x + \sin 3x) - \sin 2x \\ = \sin 2x(2\cos x - 1) \end{gathered}\text{。}

它在

\sin 2x = 0

时为零，此时

x = 0, \tfrac{\pi}{2}, \pi, \tfrac{3\pi}{2}

；或者在

\cos x = \tfrac12

时为零，此时

x = \tfrac{\pi}{3}, \tfrac{5\pi}{3}

。

逐一检查实部

1 + \cos x - \cos 2x + \cos 3x

，在这些值处结果为

\pm 2

或

1

，从不为

0

。所以不存在

x

使

P(x) = 0

。

所以正确答案是 A。

Group by Euler’s formula:

P(x) = 1 + e^{ix} - e^{2ix} + e^{3ix}.

The imaginary part is

\begin{gathered} \sin x - \sin 2x + \sin 3x \\ = (\sin x + \sin 3x) - \sin 2x \\ = \sin 2x(2\cos x - 1). \end{gathered}

This vanishes when

\sin 2x = 0

(so

x = 0, \tfrac{\pi}{2}, \pi, \tfrac{3\pi}{2}

) or

\cos x = \tfrac12

(so

x = \tfrac{\pi}{3}, \tfrac{5\pi}{3}

).

Checking the real part

1 + \cos x - \cos 2x + \cos 3x

at each of these values gives

\pm 2

or

1,

never

0.

So no

x

makes

P(x) = 0.

Thus, the correct answer is A.

2021 AMC 12B Fall 第 21 题

答案：A

难度评级：2420

小提示：

大提示：

解答：

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