2021 AMC 12A Fall 第 21 题

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21.

设

ABCD

是等腰梯形，满足

\overline{BC} \parallel \overline{AD}

且

AB = CD

。点

X

和

Y

在对角线

\overline{AC}

上，且

X

在

A

和

Y

之间，如图所示。已知

\angle AXD = \angle BYC = 90^\circ

、

AX = 3

、

XY = 1

，且

YC = 2

。

ABCD

的面积是多少？

Let

ABCD

be an isosceles trapezoid with

\overline{BC} \parallel \overline{AD}

and

AB = CD.

Points

X

and

Y

lie on diagonal

\overline{AC}

with

X

between

A

and

Y,

as shown in the figure. Suppose

\angle AXD = \angle BYC = 90^\circ,

AX = 3,

XY = 1,

and

YC = 2.

What is the area of

ABCD?

15

5\sqrt{11}

3\sqrt{35}

18

7\sqrt{7}

答案：C

知识点：坐标几何梯形鞋带公式

难度评级：2170

小提示：

把

A, X, Y, C

放在一条水平线上，且

AX = 3

、

XY = 1

、

YC = 2

。于是

D

在

X

的竖直下方，

B

在

Y

的竖直上方

Place

A, X, Y, C

on a horizontal line with

AX = 3,

XY = 1,

YC = 2.

Then

D

is vertically below

X

and

B

vertically above

Y

大提示：

利用

\overline{BC}\parallel\overline{AD}

和

AB = CD

关联

B

与

D

的高度，再用鞋带公式

Use

\overline{BC}\parallel\overline{AD}

and

AB = CD

to relate the heights of

B

and

D,

then apply the shoelace formula

解答：

令

A = (0,0)

，

X = (3,0)

，

Y = (4,0)

，

C = (6,0)

。直角条件给出

D = (3, t)

，且

B = (4, s)

，它们在

AC

的两侧。

平行关系

\overline{AD}\parallel\overline{BC}

强制

t = -\tfrac{3}{2}s

，而

AB = CD

给出

16 + s^2 = 9 + t^2

，所以

t^2 - s^2 = 7

。代入得

s^2 = \tfrac{28}{5}

。

鞋带公式给出面积

= 3\,|t - s|

= 3\cdot\tfrac{5}{2}s

= \tfrac{15}{2}s

= \tfrac{15}{2}\sqrt{\tfrac{28}{5}}

= 3\sqrt{35}

。

所以正确答案是 C。

Put

A = (0,0),

X = (3,0),

Y = (4,0),

C = (6,0).

The right angles give

D = (3, t)

and

B = (4, s)

on opposite sides of

AC.

Parallelism

\overline{AD}\parallel\overline{BC}

forces

t = -\tfrac{3}{2}s,

and

AB = CD

gives

16 + s^2 = 9 + t^2,

so

t^2 - s^2 = 7.

Substituting yields

s^2 = \tfrac{28}{5}.

The shoelace formula gives area

= 3\,|t - s|

= 3\cdot\tfrac{5}{2}s

= \tfrac{15}{2}s

= \tfrac{15}{2}\sqrt{\tfrac{28}{5}}

= 3\sqrt{35}.

Thus, the correct answer is C.

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