Question

设 $ABCD$ 是等腰梯形，满足 $\overline{BC} \parallel \overline{AD}$ 且 $AB = CD$ 。点 $X$ 和 $Y$ 在对角线 $\overline{AC}$ 上，且 $X$ 在 $A$ 和 $Y$ 之间，如图所示。已知 $\angle AXD = \angle BYC = 90^\circ$ 、 $AX = 3$ 、 $XY = 1$ ，且 $YC = 2$ 。 $ABCD$ 的面积是多少？

Let $ABCD$ be an isosceles trapezoid with $\overline{BC} \parallel \overline{AD}$ and $AB = CD.$ Points $X$ and $Y$ lie on diagonal $\overline{AC}$ with $X$ between $A$ and $Y,$ as shown in the figure. Suppose $\angle AXD = \angle BYC = 90^\circ,$ $AX = 3,$ $XY = 1,$ and $YC = 2.$ What is the area of $ABCD?$

$15$

$5\sqrt{11}$

$3\sqrt{35}$

$18$

$7\sqrt{7}$

答案：C

知识点：坐标几何梯形鞋带公式

难度评级：2170

解答：

令 $A = (0,0)$ ， $X = (3,0)$ ， $Y = (4,0)$ ， $C = (6,0)$ 。直角条件给出 $D = (3, t)$ ，且 $B = (4, s)$ ，它们在 $AC$ 的两侧。

平行关系 $\overline{AD}\parallel\overline{BC}$ 强制 $t = -\tfrac{3}{2}s$ 而 $AB = CD$ 给出 $16 + s^2 = 9 + t^2$ ，所以 $t^2 - s^2 = 7$ 。代入得 $s^2 = \tfrac{28}{5}$ 。

鞋带公式给出面积 $= 3\,|t - s|$ $= 3\cdot\tfrac{5}{2}s$ $= \tfrac{15}{2}s$ $= \tfrac{15}{2}\sqrt{\tfrac{28}{5}}$ $= 3\sqrt{35}$ 。

所以正确答案是 C。

Put $A = (0,0),$ $X = (3,0),$ $Y = (4,0),$ $C = (6,0).$ The right angles give $D = (3, t)$ and $B = (4, s)$ on opposite sides of $AC.$

Parallelism $\overline{AD}\parallel\overline{BC}$ forces $t = -\tfrac{3}{2}s,$ and $AB = CD$ gives $16 + s^2 = 9 + t^2,$ so $t^2 - s^2 = 7.$ Substituting yields $s^2 = \tfrac{28}{5}.$

The shoelace formula gives area $= 3\,|t - s|$ $= 3\cdot\tfrac{5}{2}s$ $= \tfrac{15}{2}s$ $= \tfrac{15}{2}\sqrt{\tfrac{28}{5}}$ $= 3\sqrt{35}.$

Thus, the correct answer is C.

2021 AMC 12A Fall 第 21 题

答案：C

难度评级：2170

解答：

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