Question

设 $S$ 是所有满足的正实数 $x$ 的和。 $x^{2^{\sqrt2}}=\sqrt2^{\,2^x}.$

下列哪一项为真？

Let $S$ be the sum of all positive real numbers $x$ for which $x^{2^{\sqrt2}}=\sqrt2^{\,2^x}.$

Which of the following statements is true?

$S\lt\sqrt2$

$S=\sqrt2$

$\sqrt2\lt S\lt 2$

$2\le S\lt 6$

$S\ge 6$

答案：D

知识点：对数极限情形界定

难度评级：2260

解答：

两边取 $\log_2$ ，方程变为 $2^{\sqrt2}\log_2 x=2^{x-1}$ 。代入 $x=\sqrt2$ 得 $2^{\sqrt2}\cdot\tfrac12=2^{\sqrt2-1}$ 成立，所以 $x=\sqrt2$ 是一个解。

令 $f(x)=2^{x-1}-2^{\sqrt2}\log_2 x$ 。则 $f(1)\gt 0$ 、 $f(\sqrt2)=0$ 、 $f(2)\lt 0$ ，且 $f(4)\gt 0$ ，所以在 $2$ 与 $4$ 之间有第二个根 $x_0$ 。

因为 $2^x$ 没有其他符号变化，所以恰有两个解，且 $h(x)=\ln x/2^x$ 位于 $x\gt1$ 中。 $1/x-(\ln2)(\ln x)$ ， $h$ $2\lt x_0\lt4$ ， $2\lt S=\sqrt2+x_0\lt6$ 。

所以正确答案是 D。

Taking $\log_2,$ the equation becomes $2^{\sqrt2}\log_2 x=2^{x-1}.$ Substituting $x=\sqrt2$ gives $2^{\sqrt2}\cdot\tfrac12=2^{\sqrt2-1},$ which holds, so $x=\sqrt2$ is a solution.

Let $f(x)=2^{x-1}-2^{\sqrt2}\log_2 x.$ Then $f(1)\gt 0,$ $f(\sqrt2)=0,$ $f(2)\lt 0,$ and $f(4)\gt 0,$ so there is a second root $x_0$ between $2$ and $4.$

To prove there are no others, divide the equation by $2^x$ and consider $h(x)=\ln x/2^x$ for $x\gt1.$ Its derivative has the sign of $1/x-(\ln2)(\ln x),$ a strictly decreasing expression. Thus $h$ increases once and then decreases, so a horizontal line meets its graph at most twice. The two roots already found are all the solutions. Since $2\lt x_0\lt4,$ we have $2\lt S=\sqrt2+x_0\lt6.$

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12B Spring 第 21 题

答案：D

难度评级：2260

解答：

其他年份的第 21 题