Question

正方形 $AXYZ$ 内接于等角六边形 $ABCDEF$ ，其中 $X$ 在 $\overline{BC}$ ， $Y$ 在 $\overline{DE}$ ，且 $Z$ 在 $\overline{EF}$ 。已知 $AB = 40$ 且 $EF = 41(\sqrt{3} - 1)$ 。正方形的边长是多少？

Square $AXYZ$ is inscribed in equiangular hexagon $ABCDEF$ with $X$ on $\overline{BC},$ $Y$ on $\overline{DE},$ and $Z$ on $\overline{EF}.$ Suppose that $AB = 40$ and $EF = 41(\sqrt{3} - 1).$ What is the side-length of the square?

$29\sqrt{3}$

$\dfrac{21}{2}\sqrt{2} + \dfrac{41}{2}\sqrt{3}$

$20\sqrt{3} + 16$

$20\sqrt{2} + 13\sqrt{3}$

$21\sqrt{6}$

答案：A

知识点：等角多边形全等（几何）勾股定理

难度评级：2170

解答：

延长 $EF$ 和 $CB$ ，并过 $A$ 作一条同时垂直于它们的直线，交点分别为 $H$ 和 $J$ 。因为 $\angle ABJ=60^\circ$ 有 $BJ=20$ 且 $AJ=20\sqrt3$ 。令 $u=BX$ ，勾股定理给出 $s^2=(20+u)^2+(20\sqrt3)^2$ 。

等角条件使四个角部三角形全等，沿 $EF$ 追踪相等线段可得所以 $u=21\sqrt3-20$ 。 $\begin{aligned} u+20\sqrt3 &= 41(\sqrt3-1) \\ &\quad {}+\frac{20+u}{\sqrt3}, \end{aligned}$

因为 $20+u=21\sqrt3$ ，所以因此 $s=29\sqrt3$ 。 $\begin{aligned} s^2 &= (21\sqrt3)^2+(20\sqrt3)^2 \\ &= 3(441+400)=3\cdot29^2, \end{aligned}$

因此正确答案是 A。

Extend $EF$ and $CB$ to a line through $A$ perpendicular to both, meeting them at $H$ and $J.$ Since $\angle ABJ=60^\circ,$ we have $BJ=20$ and $AJ=20\sqrt3.$ With $u=BX,$ the Pythagorean theorem gives $s^2=(20+u)^2+(20\sqrt3)^2.$

The equiangular angles make the four corner triangles congruent, and chasing the equal segments along $EF$ yields $\begin{aligned} u+20\sqrt3 &= 41(\sqrt3-1) \\ &\quad {}+\frac{20+u}{\sqrt3}, \end{aligned}$ so $u=21\sqrt3-20.$

Since $20+u=21\sqrt3,$ we get $\begin{aligned} s^2 &= (21\sqrt3)^2+(20\sqrt3)^2 \\ &= 3(441+400)=3\cdot29^2, \end{aligned}$ giving $s=29\sqrt3.$

Thus, the correct answer is A.

2012 AMC 12B 第 21 题

答案：A

难度评级：2170

解答：

其他年份的第 21 题