Question

两个不同正整数 $x$ 和 $y$ 的算术平均数是一个两位整数。 $x$ 和 $y$ 的几何平均数等于把这个算术平均数的两位数字颠倒后得到的数。 $|x-y|$ 是多少？

The arithmetic mean of two distinct positive integers $x$ and $y$ is a two-digit integer. The geometric mean of $x$ and $y$ is obtained by reversing the digits of the arithmetic mean. What is $|x-y|?$

$24$

$48$

$54$

$66$

$70$

答案：D

知识点：平方差完全平方数数字

难度评级：2180

解答：

设算术平均数为 $10a+b$ ，几何平均数为 $10b+a$ ，则 $x+y=2(10a+b)$ ，且 $xy=(10b+a)^2$ 。

因此这恰为完全平方数时，需要 $a>b$ ，且 $u=a-b$ 为完全平方数。在数字解中，只有 $v=a+b$ 可行，得到 $(a,b)=(6,5)$ 。 $1\le u\le9$ $1\le v\le17$ 。 $11uv$ $uv$ $11$ 。 $v=11$ ， $u<11$ $v<22$ 。 $11uv=121u$ $u$ $u$ $v$ $u=1$ $9$ 。 $a=10$ ， $u=1$ $\begin{aligned} (x-y)^2 &=(x+y)^2-4xy \\ &=396(a^2-b^2) \\ &=11\cdot6^2 \\ &\quad {}\cdot(a+b)(a-b). \end{aligned}$

于是 $(x-y)^2=11\cdot6^2\cdot11=66^2$ ，所以 $|x-y|=66$ 。（确实有 $\{x,y\}=\{32,98\}$ 。）

所以正确答案是 D。

Let the arithmetic mean be $10a+b$ and the geometric mean be $10b+a.$ Then $x+y=2(10a+b)$ and $xy=(10b+a)^2.$

Therefore $\begin{aligned} (x-y)^2 &=(x+y)^2-4xy \\ &=396(a^2-b^2) \\ &=11\cdot6^2 \\ &\quad {}\cdot(a+b)(a-b). \end{aligned}$ Since the arithmetic mean exceeds the geometric mean for distinct positive numbers, $a>b.$ Put $u=a-b$ and $v=a+b.$ Then $1\le u\le9$ and $1\le v\le17.$ For $11uv$ to be a square, $uv$ must contain an odd power of $11.$ Therefore $v=11,$ because $u<11$ and $v<22.$ Now $11uv=121u$ is a square, so $u$ is a square. Also $u$ and $v$ have the same parity, leaving $u=1$ or $9.$ The latter gives $a=10,$ not a digit, so $u=1$ and $(a,b)=(6,5).$

Then $(x-y)^2=11\cdot6^2\cdot11=66^2,$ so $|x-y|=66.$ (Indeed $\{x,y\}=\{32,98\}.$ )

Thus, the correct answer is D.

2011 AMC 12B 第 21 题

答案：D

难度评级：2180

解答：

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