2009 AMC 12A 第 21 题

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21.

令

p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c

，其中

a

、

b

和

c

是复数。假设

\begin{gathered} p(2009 + 9002\pi i) \\ = p(2009) \\ = p(9002) = 0\text{。} \end{gathered}

多项式

x^{12} + ax^8 + bx^4 + c

有多少个非实零点？

Let

p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c,

where

a,

b,

and

c

are complex numbers. Suppose that

\begin{gathered} p(2009 + 9002\pi i) \\ = p(2009) \\ = p(9002) = 0. \end{gathered}

What is the number of nonreal zeros of

x^{12} + ax^8 + bx^4 + c?

4

6

8

10

12

答案：C

知识点：多项式复数单位根

难度评级：2170

小提示：

注意

x^{12} + ax^8 + bx^4 + c = p(x^4)

。

Notice that

x^{12} + ax^8 + bx^4 + c = p(x^4)

大提示：

因此零点满足

x^4 = 2009 + 9002\pi i

，

x^4 = 2009

，或

x^4 = 9002

；数一数非实四次方根。

So the zeros satisfy

x^4 = 2009 + 9002\pi i,

x^4 = 2009,

or

x^4 = 9002;

count the nonreal fourth roots

解答：

因为

x^{12} + ax^8 + bx^4 + c = p(x^4)

，一个值是零点当且仅当

x^4

等于

p

的某个根，即

2009 + 9002\pi i

，

2009

，或

9002

。

方程

x^4 = 2009 + 9002\pi i

有四个不同的非实根。

x^4 = 2009

和

x^4 = 9002

各有两个实根和两个非实根。

所以非实零点个数为

4 + 2 + 2 = 8

。

因此，正确答案是 C。

Since

x^{12} + ax^8 + bx^4 + c = p(x^4),

a value is a zero exactly when

x^4

equals one of the roots of

p,

namely

2009 + 9002\pi i,

2009,

or

9002.

The equation

x^4 = 2009 + 9002\pi i

has four distinct nonreal roots. Each of

x^4 = 2009

and

x^4 = 9002

has two real roots and two nonreal roots.

So the nonreal zeros number

4 + 2 + 2 = 8.

Thus, the correct answer is C.

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