2005 AMC 12A 第 21 题

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21.

有多少个整数有序三元组

(a, b, c)

，其中

a \ge 2

、

b \ge 1

、

c \ge 0

，同时满足

\log_a b = c^{2005}

和

a + b + c = 2005

？

How many ordered triples of integers

(a, b, c),

with

a \ge 2,

b \ge 1,

and

c \ge 0,

satisfy both

\log_a b = c^{2005}

and

a + b + c = 2005?

0

1

2

3

4

答案：C

知识点：对数丢番图方程极限情形界定

难度评级：2440

小提示：

把第一个条件改写为

b = a^{\left(c^{2005}\right)}

。

Rewrite the first condition as

b = a^{\left(c^{2005}\right)}

大提示：

若

c \ge 2

，则

b

远大于

2005

；只有

c = 0

和

c = 1

可能成立。

If

c \ge 2,

then

b

is astronomically larger than

2005;

only

c = 0

and

c = 1

can work

解答：

条件

\log_a b = c^{2005}

等价于

b = a^{\left(c^{2005}\right)}

。

若

c \ge 2

，则

b = a^{\left(c^{2005}\right)} \ge 2^{\left(2^{2005}\right)}

，远大于

2005

，不可能满足

a + b + c = 2005

。

当

c = 0

时，

b = a^0 = 1

，且

a + 1 + 0 = 2005

，得到

(a, b, c) = (2004, 1, 0)

。当

c = 1

时，

b = a^1 = a

，且

2a + 1 = 2005

，得到

(a, b, c) = (1002, 1002, 1)

。

共有

2

个三元组。

所以正确答案是 C。

The condition

\log_a b = c^{2005}

means

b = a^{\left(c^{2005}\right)}.

If

c \ge 2,

then

b = a^{\left(c^{2005}\right)} \ge 2^{\left(2^{2005}\right)},

which vastly exceeds

2005,

so

a + b + c = 2005

is impossible.

For

c = 0:

b = a^0 = 1,

so

a + 1 + 0 = 2005

gives

(a, b, c) = (2004, 1, 0).

For

c = 1:

b = a^1 = a,

so

2a + 1 = 2005

gives

(a, b, c) = (1002, 1002, 1).

There are

2

such triples.

Thus, the correct answer is C.

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