2004 AMC 12A 第 21 题

先试着解答 2004 AMC 12A 第 21 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2004 AMC 12A 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

21.

如果

\sum_{n=0}^{\infty} \cos^{2n} \theta = 5\text{，}

那么

\cos 2\theta

的值是多少？

If

\sum_{n=0}^{\infty} \cos^{2n} \theta = 5,

what is the value of

\cos 2\theta?

\dfrac{1}{5}

\dfrac{2}{5}

\dfrac{\sqrt{5}}{5}

\dfrac{3}{5}

\dfrac{4}{5}

答案：D

知识点：等比数列三角恒等式

难度评级：1820

小提示：

该级数是公比为

\cos^2 \theta

的等比级数。

The series is geometric with ratio

\cos^2 \theta

大提示：

求和得到

\dfrac{1}{\sin^2 \theta} = 5

，再用

\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta

。

Sum to get

\dfrac{1}{\sin^2 \theta} = 5,

then use

\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta

解答：

该级数首项为

1

，公比为

\cos^2 \theta

，所以和为

\dfrac{1}{1 - \cos^2 \theta} = \dfrac{1}{\sin^2 \theta} = 5

。

因此

\sin^2 \theta = \tfrac15

，并且

\begin{aligned} \cos 2\theta &= 1 - 2\sin^2 \theta \\ &= 1 - \tfrac25 = \tfrac35 \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 D。

The series is geometric with first term

1

and ratio

\cos^2 \theta,

so its sum is

\dfrac{1}{1 - \cos^2 \theta} = \dfrac{1}{\sin^2 \theta} = 5.

Thus

\sin^2 \theta = \tfrac15,

and

\begin{aligned} \cos 2\theta &= 1 - 2\sin^2 \theta \\ &= 1 - \tfrac25 = \tfrac35. \end{aligned}

Thus, the correct answer is D.

其他年份的第 21 题