2002 AMC 12A 第 21 题

Question

考虑数列

4

，

7

，

1

，

8

，

9

，

7

，

6

，

\ldots

。对

n \gt 2

，第

n

项是前两项之和的个位数字。令

S_n

表示该数列前

n

项的和。使

S_n \gt 10{,}000

的最小

n

是

Consider the sequence of numbers

4,

7,

1,

8,

9,

7,

6,

\ldots

For

n \gt 2,

the

n

th term of the sequence is the units digit of the sum of the two previous terms. Let

S_n

denote the sum of the first

n

terms of this sequence. The smallest value of

n

for which

S_n \gt 10{,}000

is

1992

1999

2001

2002

2004

答案：B

知识点：个位数字求和找规律

难度评级：1840

小提示：

继续写出各项，直到模式重复。

Write out terms until the pattern repeats

大提示：

前

12

项和为

60

，之后循环重复；求多少个完整循环仍不超过

10{,}000

。

The first

12

terms sum to

60

and then repeat; find how many full blocks stay under

10{,}000

解答：

继续写数列得到

4, 7, 1, 8, 9, 7, 6

，

3, 9, 2, 1, 3, 4, 7, 1, \ldots

，它以

12

为周期重复。每个

12

项循环的和为

60

。

满足

60k \le 10{,}000

的最大

k

是

k = 166

，因此

S_{12\cdot 166} = 9960

。再加上下一轮的

4, 7, 1, 8, 9, 7, 6

，增加

42

，总和超过

10{,}000

。所以

n = 12\cdot 166 + 7 = 1999

。

因此，正确答案是 B。

Continuing the sequence gives

4, 7, 1, 8, 9, 7, 6,

3, 9, 2, 1, 3, 4, 7, 1, \ldots,

which repeats with period

12.

Each block of

12

terms sums to

60.

The largest

k

with

60k \le 10{,}000

is

k = 166,

giving

S_{12\cdot 166} = 9960.

Adding the next terms

4, 7, 1, 8, 9, 7, 6

contributes

42,

pushing the total past

10{,}000.

So

n = 12\cdot 166 + 7 = 1999.

Thus, the correct answer is B.

2002 AMC 12A 第 21 题

答案：B

难度评级：1840

小提示：

大提示：

解答：

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