1992 AMC 12 第 21 题

Question

对有限数列

A=(a_1,a_2,\ldots,a_n)

，定义

A

的切萨罗和为

\frac{S_1+S_2+\cdots+S_n}{n}\text{，}

其中

\begin{aligned} S_k&=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k\\ &\qquad(1\le k\le n) \end{aligned}\text{。}

若

99

项数列

(a_1,a_2,\ldots,a_{99})

的切萨罗和为

1000

，则

100

项数列

(1,a_1,a_2,\ldots,a_{99})

的切萨罗和是多少？

For a finite sequence

A=(a_1,a_2,\ldots,a_n)

of numbers, the Cesàro sum of

A

is defined to be

\frac{S_1+S_2+\cdots+S_n}{n},

where

\begin{aligned} S_k&=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_k\\ &\qquad(1\le k\le n). \end{aligned}

If the Cesàro sum of the

99

-term sequence

(a_1,a_2,\ldots,a_{99})

is

1000,

what is the Cesàro sum of the

100

-term sequence

(1,a_1,a_2,\ldots,a_{99})?

991

999

1000

1001

1009

答案：A

知识点：partial sums sequence transformation weighted average

难度评级：2000

小提示：

根据第一个切萨罗和求出

S_1+\cdots+S_{99}

的值

Convert the first Cesàro sum into the value of

S_1+\cdots+S_{99}

大提示：

每个新的部分和都等于一个原部分和加

1

，并且最初还有一个等于

1

的部分和

Each new partial sum is

1

plus an old partial sum, with one initial partial sum equal to

1

解答：

已知条件表明

S_1+\cdots+S_{99}=99{,}000

。新数列的部分和依次为

1,1+S_1,\ldots,1+S_{99}

。它们的和为

100+(S_1+\cdots+S_{99})=99{,}100\text{。}

除以

100

，得到新的切萨罗和

991

。

因此正确答案是 A。

The given condition says

S_1+\cdots+S_{99}=99{,}000.

For the new sequence, the partial sums are

1,1+S_1,\ldots,1+S_{99}.

Their sum is

100+(S_1+\cdots+S_{99})=99{,}100.

Dividing by

100

gives the new Cesàro sum

991.

Thus the correct answer is A.

1992 AMC 12 第 21 题

答案：A

难度评级：2000

小提示：

大提示：

解答：

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