1987 AMC 12 第 21 题

Question

在一个给定的等腰直角三角形中内接正方形，有两种自然的方式。若按下图

1

所示的方式内接，则正方形的面积为

441\text{ cm}^2

。问面积以

\text{cm}^2

为单位时，在同一个

\triangle ABC

中按下图

2

所示方式内接的正方形面积是多少？

There are two natural ways to inscribe a square in a given isosceles right triangle. If it is done as in Figure

1

below, then one finds that the area of the square is

441\text{ cm}^2.

What is the area (in

\text{cm}^2

) of the square inscribed in the same

\triangle ABC

as shown in Figure

2

below?

378

392

400

441

484

答案：B

知识点：similar triangles inscribed square area scaling

难度评级：1980

小提示：

利用图

1

求出这个等腰直角三角形的直角边长

Use Figure

1

to determine the leg length of the isosceles right triangle

大提示：

在图

2

中，比较倾斜正方形的边长与其对边在两条等长直角边上截出的线段

In Figure

2,

compare the side of the tilted square with the two equal leg segments cut off by its opposite side

解答：

第一个正方形的边长为

21

，所以三角形的两条直角边长均为

42

。设倾斜正方形的边长为

s

。位于斜边上的那条边与连接两条直角边的对边平行。这条对边的两个端点为

(0,k)

和

(k,0)

，所以

s=k\sqrt2

。平行直线

x+y=k

与

x+y=42

之间的距离也等于

s

，因此

s=\frac{42-k}{\sqrt2},\qquad k=\frac{s}{\sqrt2}\text{。}

由此

s=14\sqrt2

，正方形的面积为

s^2=392

。

因此，正确答案是 B。

The first square has side

21,

so the triangle’s legs have length

42.

Let

s

be the side of the tilted square. Its side on the hypotenuse is parallel to the opposite side joining the legs. That opposite side has endpoints

(0,k)

and

(k,0),

so

s=k\sqrt2.

The distance between the parallel lines

x+y=k

and

x+y=42

is also

s,

giving

s=\frac{42-k}{\sqrt2},\qquad k=\frac{s}{\sqrt2}.

Hence

s=14\sqrt2,

and its area is

s^2=392.

Thus the correct answer is B.

1987 AMC 12 第 21 题

答案：B

难度评级：1980

小提示：

大提示：

解答：

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