Question

一个三角形的三边长为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，并满足 $(a+b+c)(a+b-c)=3ab\text{。}$ 则边长为 $c$ 的边所对角的度数为

In a triangle with sides of lengths $a,$ $b,$ and $c,$ $(a+b+c)(a+b-c)=3ab.$ The measure of the angle opposite the side of length $c$ is

$15^\circ$

$30^\circ$

$45^\circ$

$60^\circ$

$150^\circ$

答案：D

知识点：余弦定理平方差

难度评级：1450

小提示：

将左边展开为平方差

Expand the left side as a difference of squares

大提示：

把所得的 $c^2$ 表达式与余弦定理比较

Compare the resulting expression for $c^2$ with the law of cosines

解答：

已知条件给出 $(a+b)^2-c^2=3ab$ ，所以 $c^2=a^2+b^2-ab\text{。}$ 若 $\theta$ 是边 $c$ 所对的角，则余弦定理给出 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta$ 。因此 $2ab\cos\theta=ab$ ，所以 $\cos\theta=\frac{1}{2}$ ，且 $\theta=60^\circ$ 。

所以正确答案是 D。

The condition gives $(a+b)^2-c^2=3ab,$ so $c^2=a^2+b^2-ab.$ If $\theta$ is opposite $c,$ the law of cosines says $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\theta.$ Therefore $2ab\cos\theta=ab,$ so $\cos\theta=\frac{1}{2}$ and $\theta=60^\circ.$

Therefore, the correct answer is D.

1981 AMC 12 第 21 题

答案：D

难度评级：1450

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 21 题