2022 AMC 12A Problema 4

Intenta el Problema 4 del 2022 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2022 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

4.

El mínimo común múltiplo de un entero positivo

n

y

18

es

180,

y el máximo común divisor de

n

y

45

es

15.

¿Cuál es la suma de los dígitos de

n

?

The least common multiple of a positive integer

n

and

18

is

180,

and the greatest common divisor of

n

and

45

is

15.

What is the sum of the digits of

n?

3

6

8

9

12

Respuesta: B

Conceptos:mínimo común múltiplo máximo común divisor factorización en primos

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Factoriza

180=2^2\cdot3^2\cdot5

y observa qué potencias debe aportar

n

más allá de

18=2\cdot3^2

Factor

180=2^2\cdot3^2\cdot5

and see which powers

n

must supply beyond

18=2\cdot3^2

Pista grande:

\gcd(n,45)=15

obliga a que haya exactamente un factor

3

y al menos un factor

5

\gcd(n,45)=15

forces exactly one factor of

3

and at least one factor of

5

Solución:

Como

180=2^2\cdot3^2\cdot5

y

18=2\cdot3^2,

la condición

\operatorname{lcm}(n,18)=180

obliga a que

n

aporte

2^2

y

5,

con su potencia de

3

a lo sumo

2.

De

\gcd(n,45)=\gcd(n,3^2\cdot5)

=15=3\cdot5,

la potencia de

3

en

n

es exactamente

1

y la potencia de

5

es al menos

1.

Por lo tanto

n=2^2\cdot3\cdot5=60,

cuyos dígitos suman

6.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since

180=2^2\cdot3^2\cdot5

and

18=2\cdot3^2,

the condition

\operatorname{lcm}(n,18)=180

forces

n

to contribute

2^2

and

5,

with its power of

3

at most

2.

From

\gcd(n,45)=\gcd(n,3^2\cdot5)

=15=3\cdot5,

the power of

3

in

n

is exactly

1

and the power of

5

is at least

1.

Therefore

n=2^2\cdot3\cdot5=60,

whose digits sum to

6.

Thus, the correct answer is B.

El Problema 4 en otros años