Question

Sean $h_n$ y $k_n$ los únicos enteros positivos primos entre sí tales que

$\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n=\frac{h_n}{k_n}.$

Sea $L_n$ el mínimo común múltiplo de los números $1,2,3,\ldots,n.$ ¿Para cuántos enteros $n$ con $1\le n\le22$ se cumple $k_n\lt L_n$ ?

Let $h_n$ and $k_n$ be the unique relatively prime positive integers such that

$\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n=\frac{h_n}{k_n}.$

Let $L_n$ denote the least common multiple of the numbers $1,2,3,\ldots,n.$ For how many integers $n$ with $1\le n\le22$ is $k_n\lt L_n?$

$0$

$3$

$7$

$8$

$10$

Respuesta: D

Conceptos:mínimo común múltiplo factorización en primos aritmética modular

Nivel de dificultad: 2520

Solución:

Siempre $k_n\mid L_n,$ así que $k_n\lt L_n$ exactamente cuando algún primo $p$ divide tanto a $L_n$ como al numerador $N=\sum_{k=1}^n \tfrac{L_n}{k}$ (es decir, se cancela un primo).

Para un primo $p$ con potencia máxima $p^a\le n,$ solo los términos con $v_p(k)=a$ mantienen a $p$ fuera de $L_n/k;$ todos los demás son divisibles entre $p.$ Por tanto, $p$ se cancela si y solo si $\sum_{v_p(k)=a}\tfrac{L_n}{k}\equiv0\pmod p.$

Aplicando esta prueba recursivamente con $H_n=H_{n-1}+1/n$ , obtenemos $k_n=L_n$ para $1\le n\le5,$ $k_n=L_n/3$ para $6\le n\le8,$ y de nuevo $k_n=L_n$ para $9\le n\le17.$ Finalmente, las razones $L_n/k_n$ para $n=18,19,20,21,22$ son $3,3,15,45,45,$ respectivamente. Así, la cancelación ocurre precisamente para $n=6,7,8,18,19,20,21,22,$ que son $8$ valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Always $k_n\mid L_n,$ so $k_n\lt L_n$ exactly when some prime $p$ divides both $L_n$ and the numerator $N=\sum_{k=1}^n \tfrac{L_n}{k}$ (i.e. a prime cancels).

For a prime $p$ with maximal power $p^a\le n,$ only the terms with $v_p(k)=a$ keep $p$ out of $L_n/k;$ all others are divisible by $p.$ So $p$ cancels iff $\sum_{v_p(k)=a}\tfrac{L_n}{k}\equiv0\pmod p.$

Applying this test recursively with $H_n=H_{n-1}+1/n$ gives $k_n=L_n$ for $1\le n\le5,$ $k_n=L_n/3$ for $6\le n\le8,$ and $k_n=L_n$ again for $9\le n\le17.$ Finally, the ratios $L_n/k_n$ for $n=18,19,20,21,22$ are $3,3,15,45,45,$ respectively. Thus cancellation occurs precisely for $n=6,7,8,18,19,20,21,22,$ which is $8$ values.

Thus, the correct answer is D.

2022 AMC 12A Problema 23

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2520

Solución:

El Problema 23 en otros años