2022 AMC 12A Problema 12

Question

Sea

M

el punto medio de

\overline{AB}

en el tetraedro regular

ABCD.

¿Cuánto vale

\cos(\angle CMD)

?

Let

M

be the midpoint of

\overline{AB}

in regular tetrahedron

ABCD.

What is

\cos(\angle CMD)?

\dfrac14

\dfrac13

\dfrac25

\dfrac12

\dfrac{\sqrt3}{2}

CM

y

DM

son medianas de caras equiláteras con longitud de arista

1

CM

and

DM

are medians of equilateral faces with edge length

1

CM=DM=\dfrac{\sqrt3}{2}

y

CD=1;

aplica la Ley de Cosenos en

\triangle CMD

CM=DM=\dfrac{\sqrt3}{2}

and

CD=1;

apply the Law of Cosines in

\triangle CMD

Toma longitud de arista

1.

Como

M

es el punto medio de

\overline{AB},

los segmentos

CM

y

DM

son alturas de las caras equiláteras, cada una de longitud

\dfrac{\sqrt3}{2}.

Además

CD=1.

Por la Ley de Cosenos en

\triangle CMD,

\begin{aligned} \cos(\angle CMD) &=\frac{\frac34+\frac34-1}{2\cdot\frac34} \\ &=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac13. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Take edge length

1.

Since

M

is the midpoint of

\overline{AB},

segments

CM

and

DM

are altitudes of the equilateral faces, each of length

\dfrac{\sqrt3}{2}.

Also

CD=1.

By the Law of Cosines in

\triangle CMD,

\begin{aligned} \cos(\angle CMD) &=\frac{\frac34+\frac34-1}{2\cdot\frac34} \\ &=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac13. \end{aligned}

Thus, the correct answer is B.

El Problema 12 en otros años