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2021 AMC 12B Fall Problema 13

Intenta el Problema 13 del 2021 AMC 12B Fall a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 12B Fall, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

13.

Sea c=2π11.c = \dfrac{2\pi}{11}. ¿Cuál es el valor de sin⁡3c⋅sin⁡6c⋅sin⁡9c⋅sin⁡12c⋅sin⁡15csin⁡c⋅sin⁡2c⋅sin⁡3c⋅sin⁡4c⋅sin⁡5c?\small \dfrac{\sin 3c \cdot \sin 6c \cdot \sin 9c \cdot \sin 12c \cdot \sin 15c}{\sin c \cdot \sin 2c \cdot \sin 3c \cdot \sin 4c \cdot \sin 5c}?
Let c=2π11.c = \dfrac{2\pi}{11}. What is the value of sin⁡3c⋅sin⁡6c⋅sin⁡9c⋅sin⁡12c⋅sin⁡15csin⁡c⋅sin⁡2c⋅sin⁡3c⋅sin⁡4c⋅sin⁡5c?\small \dfrac{\sin 3c \cdot \sin 6c \cdot \sin 9c \cdot \sin 12c \cdot \sin 15c}{\sin c \cdot \sin 2c \cdot \sin 3c \cdot \sin 4c \cdot \sin 5c}?
−1-1
−115-\dfrac{\sqrt{11}}{5}
115\dfrac{\sqrt{11}}{5}
1011\dfrac{10}{11}
11
Respuesta: E
Conceptos:identidad trigonométricasimetría
Nivel de dificultad: 1900
Pista pequeña:
Cada ángulo es un múltiplo de 2π11\dfrac{2\pi}{11}; reduce los ángulos del numerador módulo 2π2\pi.
Each angle is a multiple of 2π11\dfrac{2\pi}{11}; reduce the numerator angles modulo 2π2\pi
Pista grande:
Usa sin⁡(2π−x)=−sin⁡x\sin(2\pi - x) = -\sin x para relacionar los factores del numerador que quedan con los del denominador
Use sin⁡(2π−x)=−sin⁡x\sin(2\pi - x) = -\sin x to relate leftover numerator factors to denominator factors
Solución:
Escribe cada ángulo como kc=2πk11.kc = \dfrac{2\pi k}{11}. Reduciendo módulo 2π,2\pi, sin⁡12c=sin⁡c\sin 12c = \sin c y sin⁡15c=sin⁡4c.\sin 15c = \sin 4c.
Así, el numerador es sin⁡3c⋅sin⁡6c⋅sin⁡9c\sin 3c \cdot \sin 6c \cdot \sin 9c ⋅sin⁡c⋅sin⁡4c.\cdot \sin c \cdot \sin 4c. Al cancelar los factores comunes sin⁡c,\sin c, sin⁡3c,\sin 3c, sin⁡4c\sin 4c queda sin⁡6c⋅sin⁡9csin⁡2c⋅sin⁡5c.\dfrac{\sin 6c \cdot \sin 9c}{\sin 2c \cdot \sin 5c}.
Ahora sin⁡9c=sin⁡(2π−2c)=−sin⁡2c\sin 9c = \sin\left(2\pi - 2c\right) = -\sin 2c y sin⁡6c=sin⁡(2π−5c)=−sin⁡5c,\sin 6c = \sin\left(2\pi - 5c\right) = -\sin 5c, así que la razón es igual a (−sin⁡5c)(−sin⁡2c)sin⁡2c⋅sin⁡5c=1.\dfrac{(-\sin 5c)(-\sin 2c)}{\sin 2c \cdot \sin 5c} = 1.
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
Write each angle as kc=2πk11.kc = \dfrac{2\pi k}{11}. Reducing modulo 2π,2\pi, sin⁡12c=sin⁡c\sin 12c = \sin c and sin⁡15c=sin⁡4c.\sin 15c = \sin 4c.
So the numerator is sin⁡3c⋅sin⁡6c⋅sin⁡9c\sin 3c \cdot \sin 6c \cdot \sin 9c ⋅sin⁡c⋅sin⁡4c.\cdot \sin c \cdot \sin 4c. Cancelling the common factors sin⁡c,\sin c, sin⁡3c,\sin 3c, sin⁡4c\sin 4c leaves sin⁡6c⋅sin⁡9csin⁡2c⋅sin⁡5c.\dfrac{\sin 6c \cdot \sin 9c}{\sin 2c \cdot \sin 5c}.
Now sin⁡9c=sin⁡(2π−2c)=−sin⁡2c\sin 9c = \sin\left(2\pi - 2c\right) = -\sin 2c and sin⁡6c=sin⁡(2π−5c)=−sin⁡5c,\sin 6c = \sin\left(2\pi - 5c\right) = -\sin 5c, so the ratio equals (−sin⁡5c)(−sin⁡2c)sin⁡2c⋅sin⁡5c=1.\dfrac{(-\sin 5c)(-\sin 2c)}{\sin 2c \cdot \sin 5c} = 1.
Thus, the correct answer is E.

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