2020 AMC 12B Problema 23

Question

¿Cuántos enteros

n \ge 2

tienen la propiedad de que, siempre que

z_1,

z_2,

\ldots,

z_n

sean números complejos tales que

|z_1| = |z_2| = \cdots = |z_n| = 1

y

z_1 + z_2 + \cdots + z_n = 0,

entonces

z_1,

z_2,

\ldots,

z_n

están igualmente espaciados en la circunferencia unitaria del plano complejo?

How many integers

n \ge 2

are there such that whenever

z_1,

z_2,

\ldots,

z_n

are complex numbers such that

|z_1| = |z_2| = \cdots = |z_n| = 1

and

z_1 + z_2 + \cdots + z_n = 0,

then the numbers

z_1,

z_2,

\ldots,

z_n

are equally spaced on the unit circle in the complex plane?

1

2

3

4

5

Respuesta: B

Conceptos:raíces de la unidad número complejo contraejemplo

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Revisa casos pequeños:

n = 2

fuerza puntos antipodales y

n = 3

fuerza un triángulo equilátero.

Check small cases:

n = 2

forces antipodal points and

n = 3

forces an equilateral triangle

Pista grande:

Para

n \ge 4,

construye un contraejemplo combinando una configuración balanceada más pequeña con un par antipodal.

For

n \ge 4,

build a counterexample by combining a smaller balanced configuration with an antipodal pair

Solución:

Para

n = 2,

z_1 + z_2 = 0

fuerza

z_2 = -z_1,

que está igualmente espaciado. Para

n = 3,

tres vectores unitarios que suman cero deben formar un triángulo equilátero, así que están igualmente espaciados.

Para todo entero par

n\ge4,

elige

\frac{n}{2}

pares antipodales en ángulos genéricos que no formen un

n

-gono regular. Para todo entero impar

n\ge5,

elige los vértices de un triángulo equilátero junto con

\frac{n-3}{2}

pares antipodales genéricos. Cada construcción tiene suma

0

pero sus puntos no están igualmente espaciados.

Por lo tanto, solo

n = 2

y

n = 3

funcionan, dando

2

valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For

n = 2,

z_1 + z_2 = 0

forces

z_2 = -z_1,

which is equally spaced. For

n = 3,

three unit vectors summing to zero must form an equilateral triangle, so they are equally spaced.

For every even

n\ge4,

choose

\frac{n}{2}

antipodal pairs at generic angles that do not form a regular

n

-gon. For every odd

n\ge5,

choose the vertices of an equilateral triangle together with

\frac{n-3}{2}

generic antipodal pairs. Each construction has sum

0

but is not equally spaced.

Hence only

n = 2

and

n = 3

work, giving

2

values.

Thus, the correct answer is B.