2018 AMC 12B Problema 23

Question

Ajay está de pie en el punto

A

cerca de Pontianak, Indonesia, a

0^\circ

de latitud y

110^\circ

de longitud E. Billy está de pie en el punto

B

cerca de Big Baldy Mountain, Idaho, EE. UU., a

45^\circ

N de latitud y

115^\circ

O de longitud. Supongamos que la Tierra es una esfera perfecta con centro

C.

¿Cuál es la medida en grados del

\angle ACB

?

Ajay is standing at point

A

near Pontianak, Indonesia,

0^\circ

latitude and

110^\circ

E longitude. Billy is standing at point

B

near Big Baldy Mountain, Idaho, USA,

45^\circ

N latitude and

115^\circ

W longitude. Assume that Earth is a perfect sphere with center

C.

What is the degree measure of

\angle ACB?

105

112\tfrac{1}{2}

120

135

150

Respuesta: C

Conceptos:Geometría 3D esfera vector

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

La diferencia de longitud es

360^\circ-(110^\circ+115^\circ)=135^\circ

.

The longitude difference is

360^\circ-(110^\circ+115^\circ)=135^\circ

Pista grande:

Coloca ambos puntos sobre una esfera unitaria y calcula el producto punto de sus vectores de posición.

Put both points on a unit sphere and take the dot product of their position vectors

Solución:

Las longitudes difieren en

360^\circ-(110^\circ+115^\circ)=135^\circ,

y

B

está a latitud

45^\circ

N. Coloca

A=(1,0,0)

sobre la esfera unitaria.

Entonces

B=\tiny\left(\cos45^\circ\cos135^\circ,\ \cos45^\circ\sin135^\circ,\ \sin45^\circ\right)

=\left(-\tfrac12,\tfrac12,\tfrac{\sqrt2}{2}\right).

El producto punto es

A\cdot B=-\tfrac12,

así que

\cos\angle ACB=-\tfrac12

y

\angle ACB=120^\circ.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The longitudes differ by

360^\circ-(110^\circ+115^\circ)=135^\circ,

and

B

is at latitude

45^\circ

N. Place

A=(1,0,0)

on the unit sphere.

Then

B=\tiny\left(\cos45^\circ\cos135^\circ,\ \cos45^\circ\sin135^\circ,\ \sin45^\circ\right)

=\left(-\tfrac12,\tfrac12,\tfrac{\sqrt2}{2}\right).

The dot product is

A\cdot B=-\tfrac12,

so

\cos\angle ACB=-\tfrac12

and

\angle ACB=120^\circ.

Thus, the correct answer is C.