2016 AMC 12A Problema 23

Question

Se eligen tres números en el intervalo

[0,1]

de forma independiente y al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que los números elegidos sean las longitudes de los lados de un triángulo de área positiva?

Three numbers in the interval

[0,1]

are chosen independently and at random. What is the probability that the chosen numbers are the side lengths of a triangle with positive area?

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{2}{3}

\dfrac{5}{6}

Respuesta: C

Conceptos:probabilidad geométrica desigualdad triangular volumen

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Las ternas

(x,y,z)

llenan un cubo unitario; el fallo significa que un número es

\ge

que la suma de los otros dos.

The triples

(x,y,z)

fill a unit cube; failure means one number

\ge

the sum of the other two

Pista grande:

Cada región como

z\ge x+y

es un tetraedro de volumen

\frac16

.

Each region such as

z\ge x+y

is a tetrahedron of volume

\frac16

Solución:

Las ternas ordenadas

(x,y,z)

llenan el cubo unitario de volumen

1.

No forman un triángulo exactamente cuando un valor es al menos la suma de los otros dos.

La región

z\ge x+y

es un tetraedro con vértices

(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1)

de volumen

\frac16.

Las regiones análogas

x\ge y+z

y

y\ge x+z

también tienen volumen

\frac16

y tienen interiores disjuntos. Así que la probabilidad de fallo es

3\cdot\frac16=\frac12,

y la probabilidad de triángulo es

1-\frac12=\frac12.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The ordered triples

(x,y,z)

fill the unit cube of volume

1.

They fail to form a triangle exactly when one value is at least the sum of the other two.

The region

z\ge x+y

is a tetrahedron with vertices

(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1)

of volume

\frac16.

The analogous regions

x\ge y+z

and

y\ge x+z

also have volume

\frac16

and have disjoint interiors. So the failure probability is

3\cdot\frac16=\frac12,

and the triangle probability is

1-\frac12=\frac12.

Thus, the correct answer is C.