2014 AMC 12B Problema 12

Question

Un conjunto

S

está formado por triángulos cuyos lados tienen longitudes enteras menores que

5,

y no hay dos elementos de

S

que sean congruentes o semejantes. ¿Cuál es el mayor número de elementos que

S

puede tener?

A set

S

consists of triangles whose sides have integer lengths less than

5,

and no two elements of

S

are congruent or similar. What is the largest number of elements that

S

can have?

8

9

10

11

12

Respuesta: B

Conceptos:desigualdad triangular semejanza enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Lista cada triángulo por sus lados en orden no creciente usando valores de

\{1,2,3,4\}

.

List each triangle by its sides in nonincreasing order using values from

\{1,2,3,4\}

Pista grande:

Descarta los que no cumplen la desigualdad triangular, y cuenta

2,2,1

y

4,4,2

solo una vez, ya que son semejantes.

Drop those failing the triangle inequality, and count

2,2,1

and

4,4,2

only once since they are similar

Solución:

Escribe cada triángulo por sus longitudes de lado en orden no creciente. Solo se permite un triángulo equilátero (todos son semejantes), y del par semejante

2,2,1

y

4,4,2

solo uno puede aparecer.

Los triángulos válidos restantes, no semejantes entre sí, son

\begin{gathered} 4\,4\,3,\ 4\,4\,1,\ 4\,3\,3,\ 4\,3\,2,\ \\ 3\,3\,2,\ 3\,3\,1,\ 3\,2\,2, \end{gathered}

siete en total. Junto con uno equilátero y uno del par semejante,

S

tiene a lo sumo

9

elementos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Write each triangle by its side lengths in nonincreasing order. Only one equilateral triangle is allowed (all are similar), and of the similar pair

2,2,1

and

4,4,2

only one may appear.

The remaining valid, pairwise non-similar triangles are

\begin{gathered} 4\,4\,3,\ 4\,4\,1,\ 4\,3\,3,\ 4\,3\,2,\ \\ 3\,3\,2,\ 3\,3\,1,\ 3\,2\,2, \end{gathered}

seven in all. Together with one equilateral and one of the similar pair,

S

has at most

9

elements.

Thus, the correct answer is B.