Question

La fracción donde $n$ es la longitud del período de la expansión decimal periódica. ¿Cuál es la suma $b_0+b_1+\cdots+b_{n-1}$ ? $\dfrac{1}{99^2}=0.\overline{b_{n-1}b_{n-2}\ldots b_2b_1b_0},$

The fraction $\dfrac{1}{99^2}=0.\overline{b_{n-1}b_{n-2}\ldots b_2b_1b_0},$ where $n$ is the length of the period of the repeating decimal expansion. What is the sum $b_0+b_1+\cdots+b_{n-1}?$

$874$

$883$

$887$

$891$

$892$

Respuesta: B

Conceptos:decimal periódico dígitos reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 2380

Solución:

Leyendo el bloque por pares de dígitos (en base $100$ ), $\dfrac{1}{9801}=\dfrac{1}{99^2}$ se expande como $00,01,02,\ldots,$ pues $\dfrac{1}{(100-1)^2}=\sum_{k\ge1}k\cdot100^{-k}.$ Sea $a_j$ el $j$ -ésimo dígito en base $100$ del bloque periódico. Al multiplicar el bloque por $99^2$ , primero se obtiene $a_0=99.$ El acarreo resultante da $a_1=97,$ y después ya no hay acarreo, con $a_j=98-j$ sucesivamente para $1\le j\le98.$ El siguiente dígito vuelve a ser $99,$ así que el período es $00,01,02,\ldots,96,97,99,$ omitiendo $98$ .

Si aparecieran todos los bloques de $00$ a $99$ , la suma de dígitos sería $(0+1+\cdots+9)\cdot20=900.$ Al quitar el $98$ ausente se resta $9+8,$ lo que da $900-9-8=883.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Reading the block in pairs of digits (base $100$ ), $\dfrac{1}{9801}=\dfrac{1}{99^2}$ expands as $00,01,02,\ldots,$ since $\dfrac{1}{(100-1)^2}=\sum_{k\ge1}k\cdot100^{-k}.$ Let $a_j$ be the $j$ th base- $100$ digit of the repeating block. Multiplying the block by $99^2$ shows first that $a_0=99.$ The resulting carry gives $a_1=97,$ after which there is no carry and successively $a_j=98-j$ for $1\le j\le98.$ The next digit is again $99,$ so the period is $00,01,02,\ldots,96,97,99,$ with $98$ omitted.

If the blocks $00$ through $99$ all appeared, the digit sum would be $(0+1+\cdots+9)\cdot20=900.$ Removing the missing $98$ subtracts $9+8,$ giving $900-9-8=883.$

Thus, the correct answer is B.

2014 AMC 12A Problema 23

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2380

Solución:

El Problema 23 en otros años