2014 AMC 12A Problema 23

Como $\dfrac{1}{99^2}=\dfrac{1}{9801}$, el bloque periódico satisface $10^n-1=9801\cdot\overline{b_{n-1}\ldots b_0}$.

Agrupa el decimal periódico en cifras de base $100$ y usa $(100-1)^{-2};$ sigue los acarreos hasta que se repita la primera cifra de base $100$

Leyendo el bloque por pares de dígitos (en base $100$), $\dfrac{1}{9801}=\dfrac{1}{99^2}$ se expande como $00,01,02,\ldots,$ pues $\dfrac{1}{(100-1)^2}=\sum_{k\ge1}k\cdot100^{-k}.$ Sea $a_j$ el $j$-ésimo dígito en base $100$ del bloque periódico. Al multiplicar el bloque por $99^2$, primero se obtiene $a_0=99.$ El acarreo resultante da $a_1=97,$ y después ya no hay acarreo, con $a_j=98-j$ sucesivamente para $1\le j\le98.$ El siguiente dígito vuelve a ser $99,$ así que el período es $00,01,02,\ldots,96,97,99,$ omitiendo $98$.

Si aparecieran todos los bloques de $00$ a $99$, la suma de dígitos sería $(0+1+\cdots+9)\cdot20=900.$ Al quitar el $98$ ausente se resta $9+8,$ lo que da $900-9-8=883.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.