2014 AMC 12A Problema 12

Question

Dos círculos se intersecan en los puntos

A

y

B.

Los arcos menores

AB

miden

30^\circ

en un círculo y

60^\circ

en el otro círculo. ¿Cuál es la razón entre el área del círculo mayor y el área del círculo menor?

Two circles intersect at points

A

and

B.

The minor arcs

AB

measure

30^\circ

on one circle and

60^\circ

on the other circle. What is the ratio of the area of the larger circle to the area of the smaller circle?

2

1+\sqrt3

3

2+\sqrt3

4

Respuesta: D

Conceptos:cuerda trigonometría razón de áreas

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

La cuerda común

AB

es igual a

2R\sin15^\circ

en un círculo y a

2r\sin30^\circ

en el otro.

The common chord

AB

equals

2R\sin15^\circ

in one circle and

2r\sin30^\circ

in the other

Pista grande:

La razón de áreas es

\left(\dfrac{R}{r}\right)^2=\dfrac{1}{4\sin^2 15^\circ}

, y

4\sin^2 15^\circ=2-\sqrt3

.

The area ratio is

\left(\dfrac{R}{r}\right)^2=\dfrac{1}{4\sin^2 15^\circ}

, and

4\sin^2 15^\circ=2-\sqrt3

Solución:

Sean los círculos de radios

R

(con el arco de

30^\circ

) y

r

(con el arco de

60^\circ

). La cuerda común tiene longitud

2R\sin15^\circ=2r\sin30^\circ,

así que

\dfrac{R}{r}=\dfrac{\sin30^\circ}{\sin15^\circ}.

El ángulo central menor corresponde al radio mayor, así que

R\gt r.

La razón de áreas es

\begin{gathered} \left(\dfrac{R}{r}\right)^2\\ =\dfrac{1}{4\sin^2 15^\circ}\\ =\dfrac{1}{2(1-\cos30^\circ)}\\ =\dfrac{1}{2-\sqrt3}=2+\sqrt3. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the circles have radii

R

(with the

30^\circ

arc) and

r

(with the

60^\circ

arc). The common chord has length

2R\sin15^\circ=2r\sin30^\circ,

so

\dfrac{R}{r}=\dfrac{\sin30^\circ}{\sin15^\circ}.

The smaller central angle gives the larger radius, so

R\gt r.