2010 AMC 12B Problema 23

Question

Los polinomios cuadráticos mónicos

P(x)

y

Q(x)

tienen la propiedad de que

P(Q(x))

tiene ceros en

x=-23,

-21,

-17,

y

-15,

y

Q(P(x))

tiene ceros en

x=-59,

-57,

-51,

y

-49.

¿Cuál es la suma de los valores mínimos de

P(x)

y

Q(x)

?

Monic quadratic polynomials

P(x)

and

Q(x)

have the property that

P(Q(x))

has zeros at

x=-23,

-21,

-17,

and

-15,

and

Q(P(x))

has zeros at

x=-59,

-57,

-51,

and

-49.

What is the sum of the minimum values of

P(x)

and

Q(x)?

-100

-82

-73

-64

0

Respuesta: A

Conceptos:polinomio completar el cuadrado simetría (álgebra)

Nivel de dificultad: 2420

Pista pequeña:

Escribe

P(x)=(x-h_1)^2-k_1^2

y

Q(x)=(x-h_2)^2-k_2^2;

los ceros de

P(Q(x))

son simétricos respecto a

x=h_2

Write

P(x)=(x-h_1)^2-k_1^2

and

Q(x)=(x-h_2)^2-k_2^2;

the zeros of

P(Q(x))

are symmetric about

x=h_2

Pista grande:

Los valores mínimos son

-k_1^2

y

-k_2^2;

halla

k_1,k_2

a partir de los espaciamientos de los ceros dados

The minimum values are

-k_1^2

and

-k_2^2;

find

k_1,k_2

from the spacings of the given zeros

Solución:

Si

P

tuviera una sola raíz real, entonces

P(Q(x))=0

tendría a lo sumo dos soluciones reales, no cuatro. Por tanto,

P

tiene dos raíces reales distintas, y el mismo argumento se aplica a

Q.

Escribamos

P(x)=(x-h_1)^2-k_1^2

y

Q(x)=(x-h_2)^2-k_2^2,

con

k_1,k_2\gt0

y valores mínimos

-k_1^2

y

-k_2^2.

Los ceros de

P(Q(x))

ocurren cuando

Q(x)=h_1\pm k_1;

sus cuatro soluciones son simétricas respecto de

h_2,

así que

h_2

es el promedio

\tfrac{-23-21-17-15}{4}=-19.

Entonces

Q(-15)-Q(-17)

=(16-k_2^2)-(4-k_2^2)

=12,

y esta diferencia es

2k_1,

por lo que

k_1=6.

Simétricamente,

h_1=\tfrac{-59-57-51-49}{4}=-54,

y

P(-49)-P(-51)

=(25-k_1^2)-(9-k_1^2)

=16=2k_2,

así que

k_2=8.

La suma de los valores mínimos es

-k_1^2-k_2^2=-36-64=-100.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If

P

had only one real root, then

P(Q(x))=0

would have at most two real solutions, not four. Thus

P

has two distinct real roots, and the same argument applies to

Q.

Write

P(x)=(x-h_1)^2-k_1^2

and

Q(x)=(x-h_2)^2-k_2^2,

with

k_1,k_2\gt0

and minimum values

-k_1^2

and

-k_2^2.

The zeros of

P(Q(x))

occur where

Q(x)=h_1\pm k_1;

their four solutions are symmetric about

h_2,

so

h_2

is the average

\tfrac{-23-21-17-15}{4}=-19.

Then

Q(-15)-Q(-17)

=(16-k_2^2)-(4-k_2^2)

=12,

and this difference equals

2k_1,

so

k_1=6.

Symmetrically,

h_1=\tfrac{-59-57-51-49}{4}=-54,

and

P(-49)-P(-51)

=(25-k_1^2)-(9-k_1^2)

=16=2k_2,

so

k_2=8.

The sum of the minimum values is

-k_1^2-k_2^2=-36-64=-100.

Thus, the correct answer is A.