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2010 AMC 12B Problema 23

Intenta el Problema 23 del 2010 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2010 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

23.

Los polinomios cuadráticos mónicos P(x)P(x) y Q(x)Q(x) tienen la propiedad de que P(Q(x))P(Q(x)) tiene ceros en x=−23,−21,−17,x=-23, -21, -17, y −15,-15, y Q(P(x))Q(P(x)) tiene ceros en x=−59,−57,−51,x=-59, -57, -51, y −49.-49. ¿Cuál es la suma de los valores mínimos de P(x)P(x) y Q(x)Q(x)?

Monic quadratic polynomials P(x)P(x) and Q(x)Q(x) have the property that P(Q(x))P(Q(x)) has zeros at x=−23,−21,−17,x=-23, -21, -17, and −15,-15, and Q(P(x))Q(P(x)) has zeros at x=−59,−57,−51,x=-59, -57, -51, and −49.-49. What is the sum of the minimum values of P(x)P(x) and Q(x)?Q(x)?

−100-100

−82-82

−73-73

−64-64

00

Respuesta: A
Conceptos:polinomiocompletar el cuadradosimetría (álgebra)
Nivel de dificultad: 2420
Solución:

Si PP tuviera una sola raíz real, entonces P(Q(x))=0P(Q(x))=0 tendría a lo sumo dos soluciones reales, no cuatro. Por tanto, PP tiene dos raíces reales distintas, y el mismo argumento se aplica a Q.Q. Escribamos P(x)=(x−h1)2−k12P(x)=(x-h_1)^2-k_1^2 y Q(x)=(x−h2)2−k22,Q(x)=(x-h_2)^2-k_2^2, con k1,k2>0k_1,k_2\gt0 y valores mínimos −k12-k_1^2 y −k22.-k_2^2.

Los ceros de P(Q(x))P(Q(x)) ocurren cuando Q(x)=h1±k1;Q(x)=h_1\pm k_1; sus cuatro soluciones son simétricas respecto de h2,h_2, así que h2h_2 es el promedio −23−21−17−154=−19.\tfrac{-23-21-17-15}{4}=-19. Entonces Q(−15)−Q(−17)Q(-15)-Q(-17) =(16−k22)−(4−k22)=(16-k_2^2)-(4-k_2^2) =12,=12, y esta diferencia es 2k1,2k_1, por lo que k1=6.k_1=6.

Simétricamente, h1=−59−57−51−494=−54,h_1=\tfrac{-59-57-51-49}{4}=-54, y P(−49)−P(−51)P(-49)-P(-51) =(25−k12)−(9−k12)=(25-k_1^2)-(9-k_1^2) =16=2k2,=16=2k_2, así que k2=8.k_2=8.

La suma de los valores mínimos es −k12−k22=−36−64=−100.-k_1^2-k_2^2=-36-64=-100.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If PP had only one real root, then P(Q(x))=0P(Q(x))=0 would have at most two real solutions, not four. Thus PP has two distinct real roots, and the same argument applies to Q.Q. Write P(x)=(x−h1)2−k12P(x)=(x-h_1)^2-k_1^2 and Q(x)=(x−h2)2−k22,Q(x)=(x-h_2)^2-k_2^2, with k1,k2>0k_1,k_2\gt0 and minimum values −k12-k_1^2 and −k22.-k_2^2.

The zeros of P(Q(x))P(Q(x)) occur where Q(x)=h1±k1;Q(x)=h_1\pm k_1; their four solutions are symmetric about h2,h_2, so h2h_2 is the average −23−21−17−154=−19.\tfrac{-23-21-17-15}{4}=-19. Then Q(−15)−Q(−17)Q(-15)-Q(-17) =(16−k22)−(4−k22)=(16-k_2^2)-(4-k_2^2) =12,=12, and this difference equals 2k1,2k_1, so k1=6.k_1=6.

Symmetrically, h1=−59−57−51−494=−54,h_1=\tfrac{-59-57-51-49}{4}=-54, and P(−49)−P(−51)P(-49)-P(-51) =(25−k12)−(9−k12)=(25-k_1^2)-(9-k_1^2) =16=2k2,=16=2k_2, so k2=8.k_2=8.

The sum of the minimum values is −k12−k22=−36−64=−100.-k_1^2-k_2^2=-36-64=-100.

Thus, the correct answer is A.

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