2010 AMC 12A Problema 13

Question

¿Para cuántos valores enteros de

k

las gráficas de

x^2+y^2=k^2

y

xy=k

no se intersecan?

For how many integer values of

k

do the graphs of

x^2+y^2=k^2

and

xy=k

not intersect?

0

1

2

4

8

Respuesta: C

Conceptos:círculo hipérbola análisis por casos

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Para

k\ne0,

x^2+y^2=k^2

es una circunferencia de radio

|k|

y

xy=k

es una hipérbola.

For

k\ne0,

x^2+y^2=k^2

is a circle of radius

|k|

and

xy=k

is a hyperbola

Pista grande:

Los puntos de la hipérbola más cercanos al origen están a distancia

\sqrt{2|k|};

compáralos con el radio

|k|

.

The hyperbola’s points closest to the origin are at distance

\sqrt{2|k|};

compare with the radius

|k|

Solución:

Para

k=0,

la gráfica de

x^2+y^2=0

es el único punto

(0,0)

y

xy=0

son los dos ejes, que se encuentran en el origen, así que las gráficas se intersecan.

Para

k\ne0,

la circunferencia tiene radio

|k|,

y la hipérbola

xy=k

tiene sus dos vértices más cercanos al origen a distancia

\sqrt{2|k|}.

Las gráficas se encuentran exactamente cuando

|k|\ge\sqrt{2|k|},

es decir

|k|\ge2.

Así que no se intersecan solo cuando

|k|=1,

es decir

k=1

y

k=-1,

lo que da

2

valores.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

For

k=0,

the graph of

x^2+y^2=0

is the single point

(0,0)

and

xy=0

is the two axes, which meet at the origin, so the graphs intersect.

For

k\ne0,

the circle has radius

|k|,

and the hyperbola

xy=k

has its two vertices nearest the origin at distance

\sqrt{2|k|}.

The graphs meet exactly when

|k|\ge\sqrt{2|k|},

that is

|k|\ge2.

So they fail to intersect only when

|k|=1,

namely

k=1

and

k=-1,

giving

2

values.

Thus, C is the correct answer.

2010 AMC 12A Problema 13

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años