2008 AMC 12A Problema 23

Question

Las soluciones de la ecuación

z^4 + 4z^3 i - 6z^2 - 4zi - i = 0

son los vértices de un polígono convexo en el plano complejo. ¿Cuál es el área del polígono?

The solutions of the equation

z^4 + 4z^3 i - 6z^2 - 4zi - i = 0

are the vertices of a convex polygon in the complex plane. What is the area of the polygon?

2^{\frac{5}{8}}

2^{\frac{3}{4}}

2

2^{\frac{5}{4}}

2^{\frac{3}{2}}

Respuesta: D

Conceptos:teorema del binomio número complejo raíces de la unidad

Nivel de dificultad: 2240

Pista pequeña:

Suma

1 + i

a ambos lados para reconocer una cuarta potencia perfecta.

Add

1 + i

to both sides to recognize a perfect fourth power

Pista grande:

Los cuatro valores de

z + i

están igualmente espaciados en un círculo de radio

2^{\frac{1}{8}},

formando un cuadrado.

The four values of

z + i

lie equally spaced on a circle of radius

2^{\frac{1}{8}},

forming a square

Solución:

Sumando

1 + i

a ambos lados, el lado izquierdo se convierte en

\begin{aligned} &z^4 + 4z^3 i - 6z^2 - 4zi + 1 \\ &= (z + i)^4, \end{aligned}

así que

(z + i)^4 = 1 + i.

Las cuatro soluciones para

w = z + i

están igualmente espaciadas en un círculo de radio

|1 + i|^{\frac{1}{4}} = (2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{8}},

y forman un cuadrado. Restar

i

solo lo traslada.

Un cuadrado inscrito en un círculo de radio

2^{\frac{1}{8}}

tiene diagonal

2 \cdot 2^{\frac{1}{8}} = 2^{\frac{9}{8}},

así que su lado es

\tfrac{2^{\frac{9}{8}}}{\sqrt{2}} = 2^{\frac{5}{8}}.

El área es

\left(2^{\frac{5}{8}}\right)^2 = 2^{\frac{5}{4}}.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Adding

1 + i

to both sides, the left side becomes

\begin{aligned} &z^4 + 4z^3 i - 6z^2 - 4zi + 1 \\ &= (z + i)^4, \end{aligned}

so

(z + i)^4 = 1 + i.

The four solutions for

w = z + i

are equally spaced on a circle of radius

|1 + i|^{\frac{1}{4}} = (2^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{8}},

and they form a square. Subtracting

i

merely translates it.

A square inscribed in a circle of radius

2^{\frac{1}{8}}

has diagonal

2 \cdot 2^{\frac{1}{8}} = 2^{\frac{9}{8}},

so its side is

\tfrac{2^{\frac{9}{8}}}{\sqrt{2}} = 2^{\frac{5}{8}}.

The area is

\left(2^{\frac{5}{8}}\right)^2 = 2^{\frac{5}{4}}.

Thus, D is the correct answer.