2007 AMC 12B Problema 25

Intenta el Problema 25 del 2007 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2007 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

25.

Los puntos

A,

B,

C,

D,

y

E

están ubicados en el espacio de

3

dimensiones con

AB=BC=CD

=DE=EA=2

y

\angle ABC=\angle CDE

=\angle DEA=90^\circ.

El plano del

\triangle ABC

es paralelo a

\overline{DE}.

¿Cuál es el área del

\triangle BDE

?

Points

A,

B,

C,

D,

and

E

are located in

3

-dimensional space with

AB=BC=CD

=DE=EA=2

and

\angle ABC=\angle CDE

=\angle DEA=90^\circ.

The plane of

\triangle ABC

is parallel to

\overline{DE}.

What is the area of

\triangle BDE?

\sqrt{2}

\sqrt{3}

2

\sqrt{5}

\sqrt{6}

Respuesta: C

Conceptos:Geometría 3D geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 2400

Pista pequeña:

Coloca

D=(-1,0,0),

E=(1,0,0),

y pon el

\triangle ABC

en un plano horizontal

z=k\gt0

.

Place

D=(-1,0,0),

E=(1,0,0),

and put

\triangle ABC

in a horizontal plane

z=k\gt0

Pista grande:

Los ángulos rectos en

D

y

E

ponen a

A,C

en círculos de radio

2

; usa

AC=2\sqrt2

para hallar

k

.

The right angles at

D

and

E

put

A,C

on radius-

2

circles; use

AC=2\sqrt2

to find

k

Solución:

Establece

D=(-1,0,0)

y

E=(1,0,0),

y deja que el

\triangle ABC

esté en el plano

z=k\gt0.

Como

\angle CDE

y

\angle DEA

son ángulos rectos,

A

y

C

están en círculos de radio

2

centrados en

E

y

D

en los planos

x=1

y

x=-1,

así que

A=(1,y_1,k),\ C=(-1,y_2,k)

con

y_j=\pm\sqrt{4-k^2}.

Como

\angle ABC=90^\circ,

AC=2\sqrt2,

lo que fuerza

y_1=-y_2.

Tomando

y_1=1,

y_2=-1,

se obtiene

k=\sqrt3,

así que

A=(1,1,\sqrt3),

C=(-1,-1,\sqrt3),

y

B

es

(1,-1,\sqrt3)

o

(-1,1,\sqrt3).

En el primer caso

BE=2

con

BE\perp DE;

en el segundo

BD=2

con

BD\perp DE.

En cualquier caso el

\triangle BDE

tiene catetos

2

y

2,

así que su área es

\tfrac12(2)(2)=2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Set

D=(-1,0,0)

and

E=(1,0,0),

and let

\triangle ABC

lie in the plane

z=k\gt0.

Because

\angle CDE

and

\angle DEA

are right angles,

A

and

C

lie on radius-

2

circles centered at

E

and

D

in the planes

x=1

and

x=-1,

so

A=(1,y_1,k),\ C=(-1,y_2,k)

with

y_j=\pm\sqrt{4-k^2}.

Since

\angle ABC=90^\circ,

AC=2\sqrt2,

which forces

y_1=-y_2.

Taking

y_1=1,

y_2=-1,

gives

k=\sqrt3,

so

A=(1,1,\sqrt3),

C=(-1,-1,\sqrt3),

and

B

is

(1,-1,\sqrt3)

or

(-1,1,\sqrt3).

In the first case

BE=2

with

BE\perp DE;

in the second

BD=2

with

BD\perp DE.

Either way

\triangle BDE

has legs

2

and

2,

so its area is

\tfrac12(2)(2)=2.

Thus, the correct answer is C.

El Problema 25 en otros años