2006 AMC 12B Problema 23

Intenta el Problema 23 del 2006 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2006 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

23.

El

\triangle ABC

isósceles tiene un ángulo recto en

C.

El punto

P

está dentro del

\triangle ABC,

de modo que

PA = 11,

PB = 7,

y

PC = 6.

Los catetos

\overline{AC}

y

\overline{BC}

tienen longitud

s = \sqrt{a + b\sqrt{2}},

donde

a

y

b

son enteros positivos. ¿Cuánto vale

a + b

?

Isosceles

\triangle ABC

has a right angle at

C.

Point

P

is inside

\triangle ABC,

such that

PA = 11,

PB = 7,

and

PC = 6.

Legs

\overline{AC}

and

\overline{BC}

have length

s = \sqrt{a + b\sqrt{2}},

where

a

and

b

are positive integers. What is

a + b?

85

91

108

121

127

Respuesta: E

Conceptos:transformación ley de los cosenos Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Rota el

\triangle ABC

90^\circ

alrededor de

C

de modo que

A

se transforme en

B

.

Rotate

\triangle ABC

by

90^\circ

about

C

so that

A

maps onto

B

Pista grande:

La imagen de

P

forma un triángulo rectángulo isósceles con

P,

lo que fija

\angle BPC

.

The image of

P

forms an isosceles right triangle with

P,

which pins down

\angle BPC

Solución:

Rota el

\triangle ABC

90^\circ

alrededor de

C,

enviando

A

a

B

y

P

a

P'.

Entonces

CP' = CP = 6

y

\angle PCP' = 90^\circ,

así que

\triangle PCP'

es un triángulo rectángulo isósceles con

PP' = 6\sqrt2.

Además

BP' = AP = 11.

Como

(6\sqrt2)^2 + 7^2 = 72 + 49

= 121 = 11^2,

el triángulo

BPP'

tiene un ángulo recto en

P.

Por lo tanto,

\angle BPC = \angle BPP'

+ \angle P'PC = 90^\circ

+ 45^\circ = 135^\circ.

Por la ley de cosenos en

\triangle BPC,

\begin{aligned} &BC^2 = 6^2 + 7^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 6 \cdot 7 \cos 135^\circ \\ &\quad = 85 + 42\sqrt2. \end{aligned}

Así que

s^2 = 85 + 42\sqrt2,

lo que da

a = 85,

b = 42,

y por lo tanto

a + b = 127.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Rotate

\triangle ABC

by

90^\circ

about

C,

sending

A

to

B

and

P

to

P'.

Then

CP' = CP = 6

and

\angle PCP' = 90^\circ,

so

\triangle PCP'

is an isosceles right triangle with

PP' = 6\sqrt2.

Also

BP' = AP = 11.

Since

(6\sqrt2)^2 + 7^2 = 72 + 49

= 121 = 11^2,

triangle

BPP'

has a right angle at

P.

Hence

\angle BPC = \angle BPP'

+ \angle P'PC = 90^\circ

+ 45^\circ = 135^\circ.

By the Law of Cosines in

\triangle BPC,

\begin{aligned} &BC^2 = 6^2 + 7^2 \\ &\quad {}- 2 \cdot 6 \cdot 7 \cos 135^\circ \\ &\quad = 85 + 42\sqrt2. \end{aligned}

So

s^2 = 85 + 42\sqrt2,

giving

a = 85,

b = 42,

and

a + b = 127.

Thus, the correct answer is E.

El Problema 23 en otros años