2004 AMC 12A Problema 23

Question

Un polinomio

\begin{aligned} &P(x) = c_{2004} x^{2004} + c_{2003} x^{2003} \\ &\quad {}+ \cdots + c_1 x + c_0 \end{aligned}

tiene coeficientes reales con

c_{2004} \ne 0

y

2004

ceros complejos distintos

z_k = a_k + b_k i,

1 \le k \le 2004

con

a_k

y

b_k

reales,

a_1 = b_1 = 0,

y

\sum_{k=1}^{2004} a_k = \sum_{k=1}^{2004} b_k.

¿Cuál de las siguientes cantidades puede ser un número distinto de cero?

A polynomial

\begin{aligned} &P(x) = c_{2004} x^{2004} + c_{2003} x^{2003} \\ &\quad {}+ \cdots + c_1 x + c_0 \end{aligned}

has real coefficients with

c_{2004} \ne 0

and

2004

distinct complex zeros

z_k = a_k + b_k i,

1 \le k \le 2004

with

a_k

and

b_k

real,

a_1 = b_1 = 0,

and

\sum_{k=1}^{2004} a_k = \sum_{k=1}^{2004} b_k.

Which of the following quantities can be a nonzero number?

c_0

c_{2003}

b_2 b_3 \ldots b_{2004}

\displaystyle\sum_{k=1}^{2004} a_k

\displaystyle\sum_{k=1}^{2004} c_k

Respuesta: E

Conceptos:número complejo Fórmulas de Vieta polinomio

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Como

z_1 = 0

es una raíz,

c_0 = P(0) = 0;

las raíces no reales vienen en pares conjugados.

Since

z_1 = 0

is a root,

c_0 = P(0) = 0;

nonreal roots come in conjugate pairs

Pista grande:

\sum c_k = P(1),

que no está obligado a ser cero; verifica que cada una de las otras opciones debe anularse.

\sum c_k = P(1),

which is not forced to be zero; check each other option must vanish

Solución:

Como

z_1 = a_1 + b_1 i = 0

es una raíz,

c_0 = P(0) = 0.

Los ceros no reales ocurren en pares conjugados, así que

\sum b_k = 0,

y la hipótesis entonces obliga a

\sum a_k = 0.

El coeficiente

c_{2003}

es igual a

-c_{2004}

por la suma de las raíces

\sum a_k + i \sum b_k = 0,

así que

c_{2003} = 0.

Como el grado es par, al menos uno de

z_2, \ldots, z_{2004}

es real, haciendo que un

b_k = 0,

así que

b_2 b_3 \cdots b_{2004} = 0.

Por lo tanto, (A) a (D) todos deben ser

0.

Por otro lado,

\sum_{k=1}^{2004} c_k = P(1),

y un polinomio válido como

P(x) = x(x - 2)(x - 3) \cdots

\cdot (x - 2003)

\cdot \left(x + \sum_{k=2}^{2003} k\right)

cumple

P(1) \ne 0.

Así que solo

\sum c_k

puede ser distinto de cero.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since

z_1 = a_1 + b_1 i = 0

is a root,

c_0 = P(0) = 0.

The nonreal zeros occur in conjugate pairs, so

\sum b_k = 0,

and the hypothesis then forces

\sum a_k = 0.

The coefficient

c_{2003}

equals

-c_{2004}

times the sum of the roots

\sum a_k + i \sum b_k = 0,

so

c_{2003} = 0.

Because the degree is even, at least one of

z_2, \ldots, z_{2004}

is real, making one

b_k = 0,

so

b_2 b_3 \cdots b_{2004} = 0.

Thus (A) through (D) all must be

0.

On the other hand,

\sum_{k=1}^{2004} c_k = P(1),

and a valid polynomial such as

P(x) = x(x - 2)(x - 3) \cdots

\cdot (x - 2003)

\cdot \left(x + \sum_{k=2}^{2003} k\right)

has

P(1) \ne 0.

So only

\sum c_k

can be nonzero.

Thus, the correct answer is E.