2003 AMC 12B Problema 13

Question

Un cono de helado consiste en una esfera de helado de vainilla y un cono circular recto que tiene el mismo diámetro que la esfera. Si el helado se derrite, llenará exactamente el cono. Supón que el helado derretido ocupa

75\%

del volumen del helado congelado. ¿Cuál es la razón entre la altura del cono y su radio?

An ice cream cone consists of a sphere of vanilla ice cream and a right circular cone that has the same diameter as the sphere. If the ice cream melts, it will exactly fill the cone. Assume that the melted ice cream occupies

75\%

of the volume of the frozen ice cream. What is the ratio of the cone’s height to its radius?

2 : 1

3 : 1

4 : 1

16 : 3

6 : 1

Respuesta: B

Conceptos:cono esfera volumen

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

La esfera y el cono comparten el mismo radio

r;

el volumen de la esfera es

\dfrac{4}{3}\pi r^3

The sphere and cone share the same radius

r;

sphere volume is

\dfrac{4}{3}\pi r^3

Pista grande:

Iguala el

75\%

del volumen de la esfera al volumen del cono

\dfrac{1}{3}\pi r^2 h

Set

75\%

of the sphere’s volume equal to the cone’s volume

\dfrac{1}{3}\pi r^2 h

Solución:

Sea

r

el radio común y

h

la altura del cono. El helado derretido llena el cono, así que

\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{1}{3}\pi r^2 h.

Esto se simplifica a

\pi r^3 = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h,

así que

h = 3r,

una razón de

3 : 1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

r

be the common radius and

h

the cone’s height. The melted ice cream fills the cone, so

\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{1}{3}\pi r^2 h.

This simplifies to

\pi r^3 = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h,

so

h = 3r,

a ratio of

3 : 1.

Thus, the correct answer is B.