2003 AMC 12B Problema 12

Question

¿Cuál es el mayor entero que es divisor de

\begin{aligned} &(n + 1)(n + 3)(n + 5) \\ &\quad {}\cdot (n + 7)(n + 9) \end{aligned}

para todo entero positivo par

n

?

What is the largest integer that is a divisor of

\begin{aligned} &(n + 1)(n + 3)(n + 5) \\ &\quad {}\cdot (n + 7)(n + 9) \end{aligned}

for all positive even integers

n?

3

5

11

15

165

Para

n

par, los factores son cinco números impares consecutivos

For even

n,

the factors are five consecutive odd numbers

Entre cualesquiera cinco números impares consecutivos, uno es múltiplo de

3

y uno es múltiplo de

5

Among any five consecutive odd numbers, one is a multiple of

3

and one is a multiple of

5

Para

n

par, los cinco factores son números impares consecutivos. Entre cualesquiera cinco números impares consecutivos, al menos uno es divisible entre

3

y exactamente uno entre

5,

así que el producto siempre es divisible entre

15.

Ningún divisor mayor funciona siempre: los productos para

n = 10

y

n = 20

son

11 \cdot 13 \cdot 15 \cdot 17 \cdot 19

y

21 \cdot 23 \cdot 25 \cdot 27 \cdot 29,

cuyo máximo común divisor es

15.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For even

n,

the five factors are consecutive odd numbers. Among any five consecutive odd numbers, at least one is divisible by

3

and exactly one by

5,

so the product is always divisible by

15.

No larger divisor always works: the products for

n = 10

and

n = 20

are

11 \cdot 13 \cdot 15 \cdot 17 \cdot 19

and

21 \cdot 23 \cdot 25 \cdot 27 \cdot 29,

whose greatest common divisor is

15.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 12 en otros años