2003 AMC 12A Problema 23

Question

¿Cuántos cuadrados perfectos son divisores del producto

1! \cdot 2! \cdot 3! \cdots 9!\,

?

How many perfect squares are divisors of the product

1! \cdot 2! \cdot 3! \cdots 9!\,?

504

672

864

936

1008

Combina estos factoriales para obtener

2^{30}\cdot3^{13}\cdot5^{5}\cdot7^{3}

.

Combine the factorials into

2^{30}\cdot3^{13}\cdot5^{5}\cdot7^{3}

En un divisor cuadrado, el exponente de cada primo debe ser par.

A square divisor uses an even exponent of each prime

El producto es

1! \cdot 2! \cdots 9! = 2^{30}\cdot3^{13}\cdot5^{5}\cdot7^{3}.

Un divisor cuadrado tiene la forma

2^{2a}3^{2b}5^{2c}7^{2d}

con

0\le a\le15,

0\le b\le6,

0\le c\le2,

y

0\le d\le1.

El número de elecciones es

16\cdot7\cdot3\cdot2=672.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The product is

1! \cdot 2! \cdots 9! = 2^{30}\cdot3^{13}\cdot5^{5}\cdot7^{3}.

A perfect-square divisor has the form

2^{2a}3^{2b}5^{2c}7^{2d}

with

0\le a\le15,

0\le b\le6,

0\le c\le2,

and

0\le d\le1.

The number of choices is

16\cdot7\cdot3\cdot2=672.

Thus, the correct answer is B.

El Problema 23 en otros años