2000 AMC 12 Problema 12

Question

Sean

A,

M,

y

C

enteros no negativos tales que

A + M + C = 12.

¿Cuál es el valor máximo de

\begin{aligned} &A \cdot M \cdot C + A \cdot M \\ &\quad {}+ M \cdot C + C \cdot A? \end{aligned}

Let

A,

M,

and

C

be nonnegative integers such that

A + M + C = 12.

What is the maximum value of

\begin{aligned} &A \cdot M \cdot C + A \cdot M \\ &\quad {}+ M \cdot C + C \cdot A? \end{aligned}

62

72

92

102

112

Observa que

AMC + AM + MC + CA

= (A + 1)(M + 1)(C + 1)

- (A + M + C) - 1

.

AMC + AM + MC + CA

= (A + 1)(M + 1)(C + 1)

- (A + M + C) - 1

Los tres factores

A+1, M+1, C+1

suman

15,

así que su producto es mayor cuando son iguales.

The three factors

A+1, M+1, C+1

sum to

15,

so their product is largest when they are equal

Observa que

\begin{aligned} &AMC + AM + MC + CA \\ &\quad = (A + 1)(M + 1)(C + 1) \\ &\quad {}- (A + M + C) - 1. \end{aligned}

Como

A + M + C = 12,

esto es igual a

(A + 1)(M + 1)(C + 1) - 13.

Los tres factores suman

15,

así que su producto se maximiza cuando cada uno es igual a

5,

dando

5^3 = 125.

El valor máximo es

125 - 13 = 112.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Observe that

\begin{aligned} &AMC + AM + MC + CA \\ &\quad = (A + 1)(M + 1)(C + 1) \\ &\quad {}- (A + M + C) - 1. \end{aligned}

Since

A + M + C = 12,

this equals

(A + 1)(M + 1)(C + 1) - 13.

The three factors sum to

15,

so their product is maximized when each equals

5,

giving

5^3 = 125.

The maximum value is

125 - 13 = 112.

Thus, the correct answer is E.

El Problema 12 en otros años