1999 AMC 12 Problema 4

Intenta el Problema 4 del 1999 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1999 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

4.

Halla la suma de todos los números primos entre

1

y

100

que son simultáneamente

1

mayor que un múltiplo de

4

y

1

menor que un múltiplo de

5.

Find the sum of all prime numbers between

1

and

100

that are simultaneously

1

greater than a multiple of

4

and

1

less than a multiple of

5.

118

137

158

187

245

Respuesta: A

Conceptos:aritmética modular primo Teorema chino del resto

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Un número

1

menor que un múltiplo de

5

tiene cifra de las unidades

4

o

9

A number

1

less than a multiple of

5

has units digit

4

or

9

Pista grande:

Ser además

\equiv 1 \pmod 4

obliga a que el número sea

\equiv 9 \pmod{20}

Being also

\equiv 1 \pmod 4

forces the number to be

\equiv 9 \pmod{20}

Solución:

Un número que es

1

menor que un múltiplo de

5

termina en

4

o

9,

y uno que es

1

mayor que un múltiplo de

4

es impar. Juntas, estas condiciones dan números

\equiv 9 \pmod{20},

a saber

9, 29, 49, 69, 89.

Entre estos, solo

29

y

89

son primos, y su suma es

29 + 89 = 118.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

A number that is

1

less than a multiple of

5

ends in

4

or

9,

and one that is

1

greater than a multiple of

4

is odd. Together these give numbers

\equiv 9 \pmod{20},

namely

9, 29, 49, 69, 89.

Among these, only

29

and

89

are prime, and their sum is

29 + 89 = 118.

Thus, the correct answer is A.

El Problema 4 en otros años