Question

El hexágono convexo equiángulo $ABCDEF$ tiene $AB = 1,$ $BC = 4,$ $CD = 2,$ y $DE = 4.$ El área del hexágono es

The equiangular convex hexagon $ABCDEF$ has $AB = 1,$ $BC = 4,$ $CD = 2,$ and $DE = 4.$ The area of the hexagon is

$\dfrac{15}{2}\sqrt{3}$

$9\sqrt{3}$

$16$

$\dfrac{39}{4}\sqrt{3}$

$\dfrac{43}{4}\sqrt{3}$

Respuesta: E

Conceptos:polígono equiángulo triángulo equilátero descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1980

Solución:

Cada ángulo interior mide $120^\circ,$ así que al prolongar los pares de lados $FA$ y $BC,$ $BC$ y $DE,$ y $DE$ y $FA$ , se recortan tres triángulos equiláteros en las esquinas y se forma un gran triángulo equilátero.

Sean $EF=e$ y $FA=f.$ Al descomponer los seis lados en direcciones separadas por $60^\circ$ , se obtiene $f-e=4$ y $e+f=6,$ así que $e=1$ y $f=5.$ Por tanto, los triángulos de las esquinas construidos sobre $AB, CD,$ y $EF$ son equiláteros. El triángulo grande tiene lado $1+4+2=7,$ mientras que los triángulos eliminados tienen lados $1,2,$ y $1.$ El área es $\begin{aligned} &\frac{\sqrt3}{4}\left(7^2 - 1^2 - 2^2 - 1^2\right) \\ &\quad = \frac{43\sqrt3}{4}. \end{aligned}$

Así, la respuesta correcta es E.

Each interior angle is $120^\circ,$ so extending sides $FA$ and $BC,$ $BC$ and $DE,$ and $DE$ and $FA$ cuts off three equilateral corner triangles and forms a large equilateral triangle.

Let $EF=e$ and $FA=f.$ Resolving the six sides in directions separated by $60^\circ$ gives $f-e=4$ and $e+f=6,$ so $e=1$ and $f=5.$ The corner triangles built on $AB, CD,$ and $EF$ are therefore equilateral. The large triangle has side $1+4+2=7,$ while the removed triangles have sides $1,2,$ and $1.$ The area is $\begin{aligned} &\frac{\sqrt3}{4}\left(7^2 - 1^2 - 2^2 - 1^2\right) \\ &\quad = \frac{43\sqrt3}{4}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

1999 AMC 12 Problema 23

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1980

Solución:

El Problema 23 en otros años