Question

青蛙 Flora 从数轴上的 $0$ 出发，向右进行一系列跳跃。每次跳跃中，不受之前跳跃影响，Flora 以 $\dfrac{1}{2^m}$ 的概率跳跃一个正整数距离 $m$ 。Flora 最终会落在 $10$ 上的概率是多少？

Flora the frog starts at $0$ on the number line and makes a sequence of jumps to the right. In any one jump, independent of previous jumps, Flora leaps a positive integer distance $m$ with probability $\dfrac{1}{2^m}.$ What is the probability that Flora will eventually land at $10?$

$\dfrac{5}{512}$

$\dfrac{45}{1024}$

$\dfrac{127}{1024}$

$\dfrac{511}{1024}$

$\dfrac{1}{2}$

答案：E

知识点：递推概率递推

难度评级：1910

解答：

设 $a_n$ 为 Flora 曾经恰好落在 $n$ 上的概率，其中 $a_0=1$ 。按第一次跳跃分类， $a_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^k}\,a_{n-k}.$

有 $n=1$ 、 $n-1$ ，并且由归纳可得，对所有 $n\ge 1$ 都有 $a_n=\tfrac12$ ：每个新项都是若干个先前值的加权和，而这些先前值都等于。 $\begin{aligned} a_n&=\frac{1}{2^n}a_0 +\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2^k}\cdot\frac12\\ &=\frac{1}{2^n} +\frac12\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)\\ &=\frac12. \end{aligned}$

因此落在 $10$ 上的概率是 $\dfrac12$ 。

所以正确答案是 E。

Let $a_n$ be the probability that Flora ever lands exactly on $n,$ with $a_0=1.$ Conditioning on the first jump, $a_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^k}\,a_{n-k}.$

We prove by induction that $a_n=\tfrac12$ for every $n\ge 1.$ The case $n=1$ is immediate. If the claim holds through $n-1,$ then $\begin{aligned} a_n&=\frac{1}{2^n}a_0 +\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2^k}\cdot\frac12\\ &=\frac{1}{2^n} +\frac12\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)\\ &=\frac12. \end{aligned}$

Hence the probability of landing on $10$ is $\dfrac12.$

Thus, the correct answer is E.

2023 AMC 12A 第 17 题

答案：E

难度评级：1910

解答：

其他年份的第 17 题