2023 AMC 12A 第 17 题

Question

青蛙 Flora 从数轴上的

0

出发，向右进行一系列跳跃。每次跳跃中，不受之前跳跃影响，Flora 以

\dfrac{1}{2^m}

的概率跳跃一个正整数距离

m

。Flora 最终会落在

10

上的概率是多少？

Flora the frog starts at

0

on the number line and makes a sequence of jumps to the right. In any one jump, independent of previous jumps, Flora leaps a positive integer distance

m

with probability

\dfrac{1}{2^m}.

What is the probability that Flora will eventually land at

10?

\dfrac{5}{512}

\dfrac{45}{1024}

\dfrac{127}{1024}

\dfrac{511}{1024}

\dfrac{1}{2}

答案：E

知识点：递推概率递推

难度评级：1910

小提示：

设

a_n

为 Flora 曾经落在

n

上的概率；按第一次跳跃的大小分类

Let

a_n

be the probability Flora ever lands on

n;

condition on the size of the first jump

大提示：

递推式

a_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{a_{n-k}}{2^k}

会给出所有

n\ge 1

的同一个值

The recursion

a_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{a_{n-k}}{2^k}

gives the same value for every

n\ge 1

解答：

设

a_n

为 Flora 曾经恰好落在

n

上的概率，其中

a_0=1

。按第一次跳跃分类，

a_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^k}\,a_{n-k}\text{。}

我们用归纳法证明对每个

n\ge 1

都有

a_n=\tfrac12

。

n=1

的情形是显然的。若结论直到

n-1

都成立，则

\begin{aligned} a_n&=\frac{1}{2^n}a_0 +\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2^k}\cdot\frac12\\ &=\frac{1}{2^n} +\frac12\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)\\ &=\frac12 \end{aligned}\text{。}

因此落在

10

上的概率是

\dfrac12

。

所以正确答案是 E。

Let

a_n

be the probability that Flora ever lands exactly on

n,

with

a_0=1.

Conditioning on the first jump,

a_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2^k}\,a_{n-k}.

We prove by induction that

a_n=\tfrac12

for every

n\ge 1.

The case

n=1

is immediate. If the claim holds through

n-1,

then

\begin{aligned} a_n&=\frac{1}{2^n}a_0 +\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2^k}\cdot\frac12\\ &=\frac{1}{2^n} +\frac12\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)\\ &=\frac12. \end{aligned}

Hence the probability of landing on

10

is

\dfrac12.

Thus, the correct answer is E.

2023 AMC 12A 第 17 题

答案：E

难度评级：1910

小提示：

大提示：

解答：

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