2020 AMC 12B 第 21 题

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21.

有多少个正整数

n

满足

\frac{n + 1000}{70} = \lfloor \sqrt{n} \rfloor\text{？}

（

\lfloor x \rfloor

表示不超过

x

的最大整数。）

How many positive integers

n

satisfy

\frac{n + 1000}{70} = \lfloor \sqrt{n} \rfloor?

(Recall that

\lfloor x \rfloor

is the greatest integer not exceeding

x.

)

2

4

6

30

32

答案：C

知识点：取整函数换元法不等式

难度评级：1800

小提示：

令

k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor

，则

n = 70k - 1000

必须满足

k^2 \le n \lt (k + 1)^2

。

Let

k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor,

so

n = 70k - 1000

must satisfy

k^2 \le n \lt (k + 1)^2

大提示：

这给出

k^2 - 70k + 1000 \le 0

和

k^2 - 68k + 1001 \gt 0

；数出满足条件的整数

k

。

This gives

k^2 - 70k + 1000 \le 0

and

k^2 - 68k + 1001 \gt 0;

count integer

k

解答：

右边是整数，令

k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor

。则

n = 70k - 1000

，而

k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor

要求

k^2 \le n \lt (k + 1)^2

。

下界

k^2 \le 70k - 1000

给出

k^2 - 70k + 1000 \le 0

，即

20 \le k \le 50

。上界

70k - 1000 \lt (k + 1)^2

给出

k^2 - 68k + 1001 \gt 0

，即

k \le 21

或

k \ge 47

。

取交集得

k \in \{20, 21, 47, 48, 49, 50\}

，因此有

6

个

n

值。

所以正确答案是 C。

The right side is an integer, so let

k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor.

Then

n = 70k - 1000,

and

k = \lfloor \sqrt{n} \rfloor

requires

k^2 \le n \lt (k + 1)^2.

The lower bound

k^2 \le 70k - 1000

gives

k^2 - 70k + 1000 \le 0,

i.e.

20 \le k \le 50.

The upper bound

70k - 1000 \lt (k + 1)^2

gives

k^2 - 68k + 1001 \gt 0,

i.e.

k \le 21

or

k \ge 47.

Intersecting,

k \in \{20, 21, 47, 48, 49, 50\},

giving

6

values of

n.

Thus, the correct answer is C.

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