2017 AMC 12A 第 21 题

Question

集合

S

按如下方式构造。开始时，

S=\{0,10\}

。之后尽可能重复下面的操作：如果

x

是某个多项式

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}

+\cdots+a_1x+a_0

的整数根，其中

n\ge1

且所有系数

a_i

都是

S

中的元素，那么把

x

加入

S

。当不能再向

S

加入新元素时，

S

有多少个元素？

A set

S

is constructed as follows. To begin,

S=\{0,10\}.

Repeatedly, as long as possible, if

x

is an integer root of some polynomial

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}

+\cdots+a_1x+a_0

for some

n\ge1,

all of whose coefficients

a_i

are elements of

S,

then

x

is put into

S.

When no more elements can be added to

S,

how many elements does

S

have?

4

5

7

9

11

答案：D

知识点：多项式整除性系统列举

难度评级：2130

小提示：

由有理根定理，系数在

S

中的多项式的任意整数根都整除其常数项

By the Rational Root Theorem, any integer root of a polynomial with coefficients in

S

divides its constant term

大提示：

从

\{0,10\}

出发可得到

\pm1,\pm2,\pm5,\pm10

；再说明没有别的数能进入

Starting from

\{0,10\},

reach

\pm1,\pm2,\pm5,\pm10;

show nothing else can enter

解答：

使用多项式

10x+10

，根

-1

进入

S

。然后

1

作为

-x^{10}-x^9-\cdots-x+10

的根进入，而

-10

由

x+10

得到。

现在

x^3+x-10

有根

2

，而

x+2

给出

-2

；接着

2x-10

和

2x+10

给出

\pm5

。此时

S=\{0,\pm1,\pm2,\pm5,\pm10\}

。

不会再出现其他整数。用归纳法，

S

中每个非零元素都整除

10

。如果规则中使用的多项式常数项为

0

，先提出最高可能次幂的

x

；任何非零根就成为一个新多项式的根，而其常数项是原多项式的第一个非零系数。由有理根定理，该根整除这个系数；归纳假设说明该系数整除

10

。因此

S

有

9

个元素。

因此，正确答案是 D。

Using

10x+10,

the root

-1

enters

S.

Then

1

enters as a root of

-x^{10}-x^9-\cdots-x+10,

and

-10

enters from

x+10.

Now

x^3+x-10

has root

2,

and

x+2

gives

-2;

then

2x-10

and

2x+10

give

\pm5.

At this point

S=\{0,\pm1,\pm2,\pm5,\pm10\}.

No further integer can appear. Inductively, every nonzero member of

S

divides

10.

If a polynomial used in the rule has constant term

0,

factor out the largest possible power of

x;

any nonzero root is then a root of a polynomial whose constant term is the first nonzero original coefficient. The Rational Root Theorem shows that the root divides this coefficient, which by the inductive hypothesis divides

10.

So

S

has

9

elements.

Thus, the correct answer is D.

2017 AMC 12A 第 21 题

答案：D

难度评级：2130

小提示：

大提示：

解答：

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