2012 AMC 12A 第 21 题

Question

设

a

、

b

和

c

是正整数，满足

a \ge b \ge c

，并且

a^2 - b^2 - c^2 + ab = 2011

以及

\begin{aligned} &a^2 + 3b^2 + 3c^2 \\ &\quad {}- 3ab - 2ac - 2bc = -1997\text{。} \end{aligned}

求

a

？

Let

a,

b,

and

c

be positive integers with

a \ge b \ge c

such that

a^2 - b^2 - c^2 + ab = 2011

and

\begin{aligned} &a^2 + 3b^2 + 3c^2 \\ &\quad {}- 3ab - 2ac - 2bc = -1997. \end{aligned}

What is

a?

249

250

251

252

253

答案：E

知识点：代数变形方程组丢番图方程

难度评级：2090

小提示：

将两个方程相加，得到一个简洁的对称表达式

Add the two equations to get a clean symmetric expression

大提示：

和式化简为

(a-b)^2

+ (b-c)^2

+ (c-a)^2 = 14

，且

14 = 3^2 + 2^2 + 1^2

是唯一方式

The sum simplifies to

(a-b)^2

+ (b-c)^2

+ (c-a)^2 = 14,

and

14 = 3^2 + 2^2 + 1^2

uniquely

解答：

将两个方程相加，得到

2a^2 + 2b^2 + 2c^2

- 2ab - 2bc - 2ca = 14

，即

\begin{aligned} &(a-b)^2 + (b-c)^2 \\ &\quad {}+ (c-a)^2 = 14 \end{aligned}\text{。}

将

14

写成三个平方数之和的唯一方式是

9 + 4 + 1

。由于

a \ge b \ge c

，有

a - c = 3

，且

(a-b, b-c) = (2,1)

或

(1,2)

。

将

(a, b, c) = (c+3, c+1, c)

代入第一个方程，得到

3(2c+3) + 2(c+1) = 2011

，所以

c = 250

，

(a, b, c) = (253, 251, 250)

。另一种情况没有整数解。

因此，正确答案是 E。

Adding the two equations gives

2a^2 + 2b^2 + 2c^2

- 2ab - 2bc - 2ca = 14,

that is,

\begin{aligned} &(a-b)^2 + (b-c)^2 \\ &\quad {}+ (c-a)^2 = 14. \end{aligned}

The only way to write

14

as a sum of three squares is

9 + 4 + 1.

Since

a \ge b \ge c,

we get

a - c = 3,

with either

(a-b, b-c) = (2,1)

or

(1,2).

Substituting

(a, b, c) = (c+3, c+1, c)

into the first equation gives

3(2c+3) + 2(c+1) = 2011,

so

c = 250

and

(a, b, c) = (253, 251, 250).

The other case has no integer solution.

Thus, the correct answer is E.

2012 AMC 12A 第 21 题

答案：E

难度评级：2090

小提示：

大提示：

解答：

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