2011 AMC 12A 第 21 题

Question

令

f_1(x) = \sqrt{1 - x}

；对整数

n \ge 2

，令

f_n(x) = f_{n-1}\!\left(\sqrt{n^2 - x}\right)

。若

N

是使

f_n

的定义域非空的最大

n

值，且

f_N

的定义域为

\{c\}

，求

N + c

。

Let

f_1(x) = \sqrt{1 - x},

and for integers

n \ge 2,

let

f_n(x) = f_{n-1}\!\left(\sqrt{n^2 - x}\right).

If

N

is the largest value of

n

for which the domain of

f_n

is nonempty, the domain of

f_N

is

\{c\}.

What is

N + c?

-226

-144

-20

20

144

答案：A

知识点：函数根式递推

难度评级：2270

小提示：

从内向外构造定义域：

f_n

要求

\sqrt{n^2 - x}

落在

f_{n-1}

的定义域中

Build the domains outward:

f_n

needs

\sqrt{n^2 - x}

to lie in the domain of

f_{n-1}

大提示：

前三个定义域为

(-\infty,1]

、

[3,4]

和

[-7,0]

；继续往下推，同时记住平方根非负

The first three domains are

(-\infty,1],

[3,4],

and

[-7,0];

continue while remembering that a square root is nonnegative

解答：

每一步都要求

\sqrt{n^2 - x}

落在

f_{n-1}

的定义域中。追踪定义域：

f_1: (-\infty, 1]

。

f_2: \sqrt{4 - x} \in (-\infty, 1] \Rightarrow [3, 4]

。

f_3: \sqrt{9 - x} \in [3, 4] \Rightarrow [-7, 0]

。

f_4: \sqrt{16 - x} \in [-7, 0] \Rightarrow \{16\}

（只有值

0

可能）。

f_5: \sqrt{25 - x} = 16 \Rightarrow \{-231\}

。

对

f_6

，我们需要

\sqrt{36 - x} = -231

，这是不可能的，所以定义域为空。因此

N = 5

，

c = -231

，且

N + c = -226

。

因此，正确答案是 A。

Each step requires

\sqrt{n^2 - x}

to lie in the domain of

f_{n-1}.

Tracking the domains:

f_1: (-\infty, 1].

f_2: \sqrt{4 - x} \in (-\infty, 1] \Rightarrow [3, 4].

f_3: \sqrt{9 - x} \in [3, 4] \Rightarrow [-7, 0].

f_4: \sqrt{16 - x} \in [-7, 0] \Rightarrow \{16\}

(only the value

0

is possible).

f_5: \sqrt{25 - x} = 16 \Rightarrow \{-231\}.

For

f_6

we would need

\sqrt{36 - x} = -231,

impossible, so the domain is empty. Hence

N = 5,

c = -231,

and

N + c = -226.

Thus, the correct answer is A.

2011 AMC 12A 第 21 题

答案：A

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

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