2010 AMC 12A 第 21 题

Question

函数图像

y=x^6-10x^5

+29x^4-4x^3+ax^2

除了在三个

x

值处与直线

y=bx+c

相交外，其余都在该直线上方。这三个值中最大的是多少？

The graph of

y=x^6-10x^5

+29x^4-4x^3+ax^2

lies above the line

y=bx+c

except at three values of

x,

where the graph and the line intersect. What is the largest of those values?

4

5

6

7

8

答案：A

知识点：多项式因式分解配方法

难度评级：2000

小提示：

图像减去直线得到一个非负多项式，并有三个二重根，所以它等于

\big((x-p)(x-q)(x-r)\big)^2

。

The graph minus the line is nonnegative with three double roots, so it equals

\big((x-p)(x-q)(x-r)\big)^2

大提示：

比较

x^5,x^4,x^3

的系数来确定三次多项式，再分解它。

Match the coefficients of

x^5,x^4,x^3

to determine the cubic, then factor it

解答：

设

f(x)

为该图像减去直线所得的函数。它非负，并在三个点处为零，每个零点都是二重根，所以

f(x)=\big(x^3-Ax^2+Bx-C\big)^2\text{。}

比较系数可得

-2A=-10\Rightarrow A=5

，接着

A^2+2B=29\Rightarrow B=2

，再由

-2C-2AB=-4\Rightarrow C=-8

。

因此三次式为

x^3-5x^2+2x+8

=(x+1)(x-2)(x-4)

，根为

-1,2

和

4

。最大值为

4

。

所以正确答案是 A。

Let

f(x)

be the graph minus the line. It is nonnegative and vanishes at three points, each a double root, so

f(x)=\big(x^3-Ax^2+Bx-C\big)^2.

Matching coefficients gives

-2A=-10\Rightarrow A=5,

then

A^2+2B=29\Rightarrow B=2,

then

-2C-2AB=-4\Rightarrow C=-8.

Thus the cubic is

x^3-5x^2+2x+8

=(x+1)(x-2)(x-4),

with roots

-1,2,

and

4.

The largest is

4.

Thus, A is the correct answer.

2010 AMC 12A 第 21 题

答案：A

难度评级：2000

小提示：

大提示：

解答：

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