2008 AMC 12B 第 21 题

Question

按如下方式构造两个半径为

1

的圆。圆

A

的圆心从连接

(0, 0)

和

(2, 0)

的线段上均匀随机选取。圆

B

的圆心从连接

(0, 1)

和

(2, 1)

的线段上均匀随机选取，并且与第一次选择相互独立。圆

A

和圆

B

相交的概率是多少？

Two circles of radius

1

are to be constructed as follows. The center of circle

A

is chosen uniformly and at random from the line segment joining

(0, 0)

to

(2, 0).

The center of circle

B

is chosen uniformly and at random, and independently of the first choice, from the line segment joining

(0, 1)

to

(2, 1).

What is the probability that circles

A

and

B

intersect?

\dfrac{2 + \sqrt{2}}{4}

\dfrac{3\sqrt{3} + 2}{8}

\dfrac{2\sqrt{2} - 1}{2}

\dfrac{2 + \sqrt{3}}{4}

\dfrac{4\sqrt{3} - 3}{4}

答案：E

知识点：几何概率距离公式

难度评级：2040

小提示：

若圆心为

(a, 0)

和

(b, 1)

，两圆相交当且仅当

\sqrt{(a - b)^2 + 1} \le 2

，也就是

|a - b| \le \sqrt{3}

。

With centers

(a, 0)

and

(b, 1),

the circles intersect iff

\sqrt{(a - b)^2 + 1} \le 2,

i.e.

|a - b| \le \sqrt{3}

大提示：

在面积为

4

的正方形

[0, 2]^2

中，通过去掉两个满足

|a - b| \gt \sqrt{3}

的角落三角形来求

|a - b| \le \sqrt{3}

的面积。

In the square

[0, 2]^2

of area

4,

find the area with

|a - b| \le \sqrt{3}

by removing the two corner triangles where

|a - b| \gt \sqrt{3}

解答：

设两个圆心为

(a, 0)

和

(b, 1)

，其中

a, b \in [0, 2]

。两个半径均为

1

的圆相交，当且仅当圆心距至多为

2

：

\begin{aligned} &\sqrt{(a - b)^2 + 1} \le 2 \\ &\iff |a - b| \le \sqrt{3} \end{aligned}\text{。}

所有点对

(a, b)

填满面积为

4

的正方形

[0, 2]^2

。失败区域

|a - b| \gt \sqrt3

是两个直角三角形，每个的两条直角边长为

2 - \sqrt3

，总面积为

(2 - \sqrt3)^2 = 7 - 4\sqrt3

。

所以有利面积为

4 - (7 - 4\sqrt3) = 4\sqrt3 - 3

，概率为

\frac{4\sqrt3 - 3}{4}\text{。}

因此，正确答案是 E。

Let the centers be

(a, 0)

and

(b, 1)

with

a, b \in [0, 2].

The circles (radius

1

each) intersect iff the distance between centers is at most

2:

\begin{aligned} &\sqrt{(a - b)^2 + 1} \le 2 \\ &\iff |a - b| \le \sqrt{3}. \end{aligned}

The pairs

(a, b)

fill the square

[0, 2]^2

of area

4.

The failing region

|a - b| \gt \sqrt3

is two right triangles, each with legs

2 - \sqrt3,

of total area

(2 - \sqrt3)^2 = 7 - 4\sqrt3.

So the favorable area is

4 - (7 - 4\sqrt3) = 4\sqrt3 - 3,

and the probability is

\frac{4\sqrt3 - 3}{4}.

Thus, the correct answer is E.

2008 AMC 12B 第 21 题

答案：E

难度评级：2040

小提示：

大提示：

解答：

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