2008 AMC 12A 第 17 题

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17.

整数数列

a_1

，

a_2

，

\ldots

按如下规则确定：若

a_{n-1}

为偶数，则

a_n = \frac{a_{n-1}}{2}

；若

a_{n-1}

为奇数，则

a_n = 3a_{n-1} + 1

。有多少个正整数

a_1 \le 2008

满足

a_1

小于

a_2

，

a_3

和

a_4

中的每一个？

Let

a_1,

a_2,

\ldots

be a sequence of integers determined by the rule

a_n = \frac{a_{n-1}}{2}

if

a_{n-1}

is even and

a_n = 3a_{n-1} + 1

if

a_{n-1}

is odd. For how many positive integers

a_1 \le 2008

is it true that

a_1

is less than each of

a_2,

a_3,

and

a_4?

250

251

501

502

1004

答案：D

知识点：递推模运算分类讨论

难度评级：1870

小提示：

若

a_1

为偶数，则

a_2 \lt a_1

，所以

a_1

必须是奇数。

If

a_1

is even then

a_2 \lt a_1,

so

a_1

must be odd

大提示：

在奇数情形中，按

a_1 \equiv 1

或

a_1 \equiv 3 \pmod 4

分类。

Split the odd case according to whether

a_1 \equiv 1

or

a_1 \equiv 3 \pmod 4

解答：

若

a_1

为偶数，则

a_2 = \frac{a_1}{2} \lt a_1

，条件失败。

若

a_1 \equiv 1 \pmod 4

，则

a_2 = 3a_1 + 1

是

4

的倍数，

a_3 = \frac{3a_1 + 1}{2}

，且

a_4 = \frac{3a_1 + 1}{4} \le a_1

，条件也失败。

若

a_1 \equiv 3 \pmod 4

，则

a_2

为偶数但不是

4

的倍数，所以

a_3 = \frac{3a_1 + 1}{2} \gt a_1

，且

a_3

为奇数，

a_4 = 3a_3 + 1 \gt a_3 \gt a_1

。此时条件成立。

满足条件的

a_1 \le 2008

且

a_1 \equiv 3 \pmod 4

的数恰有

\tfrac{2008}{4} = 502

个。

所以正确答案是 D。

If

a_1

is even, then

a_2 = \frac{a_1}{2} \lt a_1,

so the condition fails.

If

a_1 \equiv 1 \pmod 4,

then

a_2 = 3a_1 + 1

is a multiple of

4,

so

a_3 = \frac{3a_1 + 1}{2}

and

a_4 = \frac{3a_1 + 1}{4} \le a_1,

and again the condition fails.

If

a_1 \equiv 3 \pmod 4,

then

a_2

is even but not a multiple of

4,

so

a_3 = \frac{3a_1 + 1}{2} \gt a_1,

and

a_3

is odd, giving

a_4 = 3a_3 + 1 \gt a_3 \gt a_1.

The condition holds.

Exactly

\tfrac{2008}{4} = 502

values of

a_1 \le 2008

satisfy

a_1 \equiv 3 \pmod 4.

Thus, D is the correct answer.

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